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質問

１００！で最後に０が何個続くかを求めたいのですが・・

手がつかなくて困っていますご教示お願いします。

回答No.3

inara1 · ベストアンサー

過去の回答にもありますが、100! を因数分解したとき、2^97 と 5^24 が出てきますが、この２つのうち次数の小さいほうの次数（24）が末尾のゼロの数になります。末尾に0が発生するのは2×5が計算されるときだからです。1～n までの数のほぼ半数は偶数なので 2 の次数のほうが常に大きくなります。したがって n! の末尾のゼロの数は、5 の次数になるはずです。

　　　100! = 93326215443944152681699238856266700490715968264381621468592963895217599993229915608941463976156518286253697920827223758251185210916864000000000000000000000000
　　　　　　= (2)^97*(3)^48*(5)^24*(7)^16*(11)^9*(13)^7*(17)^5*(19)^5*(23)^4*(29)^3*(31)^3*(37)^2*(41)^2*(43)^2*(47)^2*(53)*(59)*(61)*(67)*(71)*(73)*(79)*(83)*(89)*(97)
　　　　　 = (2*5)^24*{ (2)^73*(3)^48*(7)^16*(11)^9*(13)^7*(17)^5*(19)^5*(23)^4*(29)^3*(31)^3*(37)^2*(41)^2*(43)^2*(47)^2*(53)*(59)*(61)*(67)*(71)*(73)*(79)*(83)*(89)*(97) }

ちなみに、手持ちの数式ソフトで計算してみたいろいろな数の階乗での末尾のゼロ数は以下のようになっています。n が大きいと n/4 に漸近していくようです。
10! → 2個　10/2 = 5
20! → 4個　20/4 = 5
50! → 12個　50/12 = 4.17
100! →24個　100/24 = 4.17
200! → 49個　200/49 = 4.08
500! → 124個　500/124 = 4.03
1000! → 249個　1000/249 = 4.02

【参考】
10^nの階乗: 桁数と末尾の0の個数　http://deztec.jp/x/05/faireal/faireal-26-index.html
階乗計算シート　http://deztec.jp/x/05/faireal/beta21.html