半減期の一次反応について

質問

なぜ一次反応では、反応99.9％ 起こるのに要する時間は反応が半分進行するのに要する時間の10倍なんでしょうか？

公式とかいろいろ見ましたが意味がわからないので、どなたかご教授お願いします…。

回答No.5

noname#57316

一次反応の反応物質の濃度変化は、反応物質の濃度を C、当該反応に係わる
反応物質の半減期を T、とすると
C=C_0・{(1/2)^(t/T)}
と表わされます。C_0 は、反応物質の初期の濃度です。

反応速度は、
-dC/dt=k・C
ですから、
k=(-dC/dt)/C
と表わせて、
dC/dt=(d/dt)〔C_0・[e^{(t/T)・ln(1/2)}]〕
=C_0・[e^{(t/T)・ln(1/2)}]・{ln(1/2)/T}
=-C・{ln(2)/T}
より、
k=(-dC/dt)/C=ln(2)/T
となります。

さて、反応が 99.9% 進行するというのは、単位時間あたりの反応速度の積分が、
全反応量の 99.9% ということで
〔∫[0→t]k・Cdt〕/〔∫[0→∞]k・Cdt〕=0.999
のことですね。

この反応量になる時の時間、t を半減期 T で表わしてみます。
∫[0→t]k・Cdt
=∫[0→t]k・C_0・[e^{(t/T)・ln(1/2)}]dt
=∫[0→t]k・C_0・{e^(-kt)}dt
={k・C_0/(-k)}・{e^(-kt)}[0→t]
=C_0・{1-e^(-kt)}
また、
∫[0→∞]k・Cdt={k・C_0/(-k)}・{e^(-kt)}[0→∞]
=C_0

∴　1-e^(-kt)=0.999
e^(-kt)=0.001
T を用いて表わすと
e^{(t/T)・ln(1/2)}=(1/2)^(t/T)=0.001
t/T は半減期の何倍に当たるかを示しており、対数を取ると
(t/T)=log(0.001)/log(1/2)
=(-3)/(-0.3010)≒10

つまり、反応が 99.9% 進行するには、約 10 半減期かかる、
ということが示されました。