放射壊変と半減期の計算について
- 放射壊変は一次反応でおこり、放射性核種の濃度に依存して壊変速度が決まります。
- 放射壊変により核種濃度が半分になるのを半減期と言います。
- 問題の樹木の半減期を考慮して、枯死した年数を求めることができます。
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半減期
放射壊変は一次反応であり、存在する放射性核種の濃度cに依存し壊変速度は-dc/dt=λcであらわされる。ラムダは一次反応速度定数とし、放射壊変においては特に壊変定数と呼ばれる。放射壊変により核種濃度が初期の半分になるのを半減期と言い、これをτで表すとτ=log_e2/λ =0.693/λとなる。地中から発掘した樹木の中の14Cの濃度を分析したところ現在ある樹木の中の14Cの濃度の75%であった。現在と過去で待機中の14Cの濃度が不変であり、14Cのは元気が5.73×10^3年であるとすれば、この樹木が枯死したのは何年前と考えられるか答えよただしlog2= 0.301 log3=0.477として計算せよ。 という問題ですがどうすればいいのでしょうか。 高校の物理(2)で半減期の公式は N(1/2)^t/Tであることはわかります。 けれどもlog2だとか出てきてちんぷんかんぷんです。 普通に考えて現在の大気の75%になっているから 0.5/0.75=2/3 までは考えられたのですが1/2の形の指数の変形に出来なくて挫折しました。御教授お願い申し上げます。
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枯死当時の放射能をNとしましょう。 それが現在75%まで低下している。 これはつまり、おっしゃる半減期の公式と並べると N*(1/2)^(t/T)=0.75*N となりますね。 両辺をNで割り、(1/2)=2^(-1)と変形して自然対数をとると -(t/T)ln2=ln0.75 まずはt=の式に整理してしまいましょう。それから 0.75=3/4なので ln0.75=ln3-ln4=ln3-ln(2^2)=ln3-2ln2 それから半減期T=5.73×10^3を代入し、あとは”算数”。 ln2もln3も数値が与えられてますからできますね。 対数の計算・対数の変形がわからないってのはまた別問題。そこは教科書をどうぞ(私に頼らないで…)
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