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たびたびすみません。 半減期
安定状態にない粒子(例えば放射性原子核)の個数が1/2に 減少するまでの時間を半減期という。 崩壊定数λと半減期t(1/2)との関係を導け。 という問題です。 答え 時刻tに存在する同位体の個数をN(t)とする。 Δtを十分に小さくとれば、その間の崩壊数はN(t)とΔtの 両方に比例するから、比例定数をλとして、 N(t)-N(t+Δt)=λN(t)Δt と書ける。 -{N(t+Δt)-N(t)}/Δt=λN(t) -{dN(t)}/dt=λN(t) {dN(t)}/dt=-λN(t) の後がよくわかりません。 大学の期末試験の問題です。 どなたかよろしくお願いします。
- mamimumeko
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崩壊定数は、放射性原子核一個が単位時間に崩壊する割合 [-{dN(t)}/dt]/N(t)=λ と定義されます。 これから、-d[ln{N(t)}]/dt=λ この式を、t=0からt=T(1/2)(つまり半減期)まで、tで積分すると T=0の時の放射性原子核の数を、N(0)として ln{N(0)}-ln[N{T(1/2)}]=λ・T(1/2) 左辺は、半減期の定義によって、ln[N(0)/N{T(1/2)}]=ln(2) ∴λ・T(1/2)=ln(2)≒0.693 従って、λ=ln(2)/T(1/2)、 近似的には、λ=0.693/T(1/2)
- kiku007
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この後は数学の解法と同じく処理すればよいでしょう。 両辺にdt/N(t)を掛けて定積分する。 [∫(1/N) dN ]=[∫(-λ)dt] 定積分する際の条件 左辺 N=N(0) から N(0)/2 右辺 t=0 から t(1/2) <==半減期 これより崩壊定数λと半減期t(1/2)との関係が求まります。
- Tacosan
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その微分方程式を解くと N(t) = ~ という式が出てきて, N(t) / N(0) = 1/2 となることから t と λの関係を求める.
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