郡数列の解き方

質問

数列
1/1,1/2,2/2,1/3.2/3,3/3,1/4,2/4,3/4,4/4,1/5…
がある。

問。初項から第２００項までの和を求めよ。

この問題の前に第１９項の項数を求める問題があったのですが、それは（何とか）解けたのですが、この問題に至ったとき、項数と郡の数えかたがうろ覚えで混乱してしまって分からなくなってしまいました。
アドバイスよろしくお願いします！

回答No.1

zk43 · ベストアンサー

1/1
1/2,2/2
1/3,2/3,3/3
1/4,2/4,3/4,4/4
・・・
と三角形に並べる。
k段目の分母はk。
k段目までに1+2+3+4+…+k=k(k+1)/2項あるので、200項目がn段目に
あるとすると、(n-1)n/2+1≦200≦n(n+1)/2
(n-1)n+2≦400≦n(n+1)
400は20の2乗だから、大体n=20と検討を付けてみると、
(20-1)20+2=382、20(20+1)=420だから成り立っている。
よって、200項目は20段目にある。
そして、20段目の一番左は(20-1)20/2+1=191項目である。
よって、200項目は20段目の左から10番目にあることが分かる。
また、k段目の和は、1/k+2/k+…+k/k=(1+2+…+k)/k=(k+1)/2なので、
200項目までの和は、Σ(k=1,19)(k+1)/2+(1/20+2/20+…+10/20)
計算はお任せ。即席なので途中もご確認を。

お礼

ありがとうございます！
三角形上に分数を並べればよいのですね。
おお、見やすい。

回答No.2

debut

分母の数で群に分けるわけでしょう？
(1/1)(1/2,2/2)(1/3,2/3,3/3)・・・
すると、第ｎ群は、分母ｎの分数1/n,2/n,・・・,n/nで
できている、項数はｎ。

まず、２００項は第何群の数か求めます。
初項からｎ群の最後の項までの項数は1+2+3+・・・+n=n(n+1)/2
で求められ(本当は不等式を解けばよいが、ｎ＝19で19*20/2=190、
ｎ＝20で20*21/2=210と暗算でも求められ）200項は第20群の10番目
とわかります。

第ｎ群の項の和は、(1/n)Σｋ[k=1～n]（1/nというのは、ｎ群の
分母はｎなので分子：一般項ｋ：の足し算には関係ないのであと
まわしでもいいと意味です）なので、計算すれば
(1/n)*n(n+1)/2=(n+1)/2　です。

よって、初項から第ｎ群の最後の項までの和（各群の和の数列
であると考えて）は　Σ(k+1)/2[k=1～n]　となり、
計算すれば　n(n+1)/4+n/2＝n(n+3)/4。
だから、第19群の最後までは　n=19を入れて209/2となります。
あとは、これに第20群の１番目から10番目までの和である
(1/20)Σｋ[k=1～10]＝55/20=11/4を加えて求められます。

全体としての項と和、群における項と和を区別しながら
これらを明確にして考えてみてください。

お礼

全体としての項・和、郡における項・和の区別はやっぱり大切ですね。
それを心がけながら頑張ります。
ありがとうございました！