ナンプレを作る

質問

とある方のブログで数学検定3段の問題が載っていました。(問題だけ)

数学は苦手ですがナンプレ自体は趣味でよく解いたりするので、この問
題はどうやって解くのか、とても興味があります。が、私ごときでは手
も足も出ません。
数学検定ということは、試行錯誤ではなく、論理的に埋めていくことができ
るのでしょうか。

よろしくお願いします。

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【問題】
・１１～９９の数字のうち10の倍数をのぞくと８１個ある。
・この８１個を９×９のマスに重複なく埋める。
・埋めた状態で、10の位、1の位それぞれでみたときナンプレの盤面条件を
満たしている。

(ナンプレの盤面条件)
９×９のマスに、縦、横、３×３のブロックそれぞれに対し、１～９が重
複なく入る。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B0%E7%8B%AC

回答No.1

aquarius_hiro · ベストアンサー

tatumi10さん、こんにちは。

とりあえず、作ってみました。

11 22 33 44 55 66 77 88 99 … (1)
74 85 96 17 28 39 41 52 63 … (2)
47 58 69 71 82 93 14 25 36 … (3)
32 43 54 65 76 87 98 19 21 … (4)
95 16 27 38 49 51 62 73 84 … (5)
68 79 81 92 13 24 35 46 57 … (6)
53 64 75 86 97 18 29 31 42 … (7)
26 37 48 59 61 72 83 94 15 … (8)
89 91 12 23 34 45 56 67 78 … (9)

もちろん、1～9を適当に同時に置換しても解になっています。
あと、3行セットで、または3列セットで交換しても解ですね。
また、各3行、各3列の中で入れ替えてもいいですね。

[↑の作り方]

以下、mod 9 で考え、mod 9 が 0 になるものは 9 とします。
例えば、9+1=10は、1になると考えます。
9+2=11は、2
5+5=10は、1
5+2=7は、7
以下同様です。

各行について、1,2,3,…,8,9 の巡回になる範囲で考えます。
そうすれば自動的に各行での重複はなくなります。

（たぶん、他のものは、1～9の同時置換で実現できる。たぶん、どこかの行で一つ互換すると、それに合わせるためには、全部の行にその互換が伝わるのではないかな？）

まず(1)は、どうとっても一般性を失わないので、一番わかり易くとりました。

次に1の位について考えます。

1の位について、(2)では1行目の+3になるようにとりました。
(3)は、+6にとりました。
これ以外では、3×3のマスの中で重複してしまうと思います。

(4)～(6)は、(1)～(3)の+1になるものです。
(7)～(8)は、(1)～(3)の+2になるものです。
それで各マスの中の重複はないはずです。

つまり1の位について、(2)～(9)は、(1)に比べて、+3,+6,+1,+4,+7,+2,+5,+8 になっているので、縦の重複はないはずです。

次に、10の位について考えます。

同じ二桁の数が一度しか現れることができないので、1の位に比べて、10の位の数字の増分が、±0,+1,+2,…,+9 を各行に分配するようにします。

(1)は、±0にとっていますので、(2)を+3, (3)を+6とします。これと、これを逆にする解以外は、3×3のマスの中で重複してしまいます。

(4),(5),(6)は、1の位に比べて、10の位が、+1,+4,+7 になるようにとります。
+1が入るときには、残りの2行は、+4と+7しかありません。
それ以外では3×3のマスの中で重複します。
(4)～(6)の中で、入れ替えたものはたぶん大丈夫。

(7),(8),(9)は、1の位に比べて、10の位が、+2,+5,+8 になるようにとります。
+2が入るときには、残りの2行は、+5と+8しかありません。
それ以外では3×3のマスの中で重複します。
(7)～(9)の中で、入れ替えたものはたぶん大丈夫。

このように作ると、重複を避けながら、全部埋めることができます。

（作り方は以上）

数学の問題としては、↑のを適当に入れ替えたもの以外の、本質的に異なるものがないのか、もっと真剣に考えないといけないかもしれませんが、時間がないのでここでは示しません。

何か勘違い書き間違い等がありましたら、すみません。

お礼

回答ありがとうございます

大変分りやすい解説で納得いたしました

ありがとうございました