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数学検定3段のナンプレ問題の解法
- 数学検定3段の問題として載っているナンプレの解法について興味があります。
- このナンプレ問題は、重複なく81個の数字を9×9のマスに埋めるという条件に加えて、10の位と1の位でナンプレの盤面条件を満たす必要があります。
- 数学検定という試験では、論理的に問題を解いていくことが求められますが、この問題はどうやって解けば良いのか難しく思います。
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tatumi10さん、こんにちは。 とりあえず、作ってみました。 11 22 33 44 55 66 77 88 99 … (1) 74 85 96 17 28 39 41 52 63 … (2) 47 58 69 71 82 93 14 25 36 … (3) 32 43 54 65 76 87 98 19 21 … (4) 95 16 27 38 49 51 62 73 84 … (5) 68 79 81 92 13 24 35 46 57 … (6) 53 64 75 86 97 18 29 31 42 … (7) 26 37 48 59 61 72 83 94 15 … (8) 89 91 12 23 34 45 56 67 78 … (9) もちろん、1～9を適当に同時に置換しても解になっています。 あと、3行セットで、または3列セットで交換しても解ですね。 また、各3行、各3列の中で入れ替えてもいいですね。 [↑の作り方] 以下、mod 9 で考え、mod 9 が 0 になるものは 9 とします。 例えば、9+1=10は、1になると考えます。 9+2=11は、2 5+5=10は、1 5+2=7は、7 以下同様です。 各行について、1,2,3,…,8,9 の巡回になる範囲で考えます。 そうすれば自動的に各行での重複はなくなります。 （たぶん、他のものは、1～9の同時置換で実現できる。たぶん、どこかの行で一つ互換すると、それに合わせるためには、全部の行にその互換が伝わるのではないかな？） まず(1)は、どうとっても一般性を失わないので、一番わかり易くとりました。 次に1の位について考えます。 1の位について、(2)では1行目の+3になるようにとりました。 (3)は、+6にとりました。 これ以外では、3×3のマスの中で重複してしまうと思います。 (4)～(6)は、(1)～(3)の+1になるものです。 (7)～(8)は、(1)～(3)の+2になるものです。 それで各マスの中の重複はないはずです。 つまり1の位について、(2)～(9)は、(1)に比べて、+3,+6,+1,+4,+7,+2,+5,+8 になっているので、縦の重複はないはずです。 次に、10の位について考えます。 同じ二桁の数が一度しか現れることができないので、1の位に比べて、10の位の数字の増分が、±0,+1,+2,…,+9 を各行に分配するようにします。 (1)は、±0にとっていますので、(2)を+3, (3)を+6とします。これと、これを逆にする解以外は、3×3のマスの中で重複してしまいます。 (4),(5),(6)は、1の位に比べて、10の位が、+1,+4,+7 になるようにとります。 +1が入るときには、残りの2行は、+4と+7しかありません。 それ以外では3×3のマスの中で重複します。 (4)～(6)の中で、入れ替えたものはたぶん大丈夫。 (7),(8),(9)は、1の位に比べて、10の位が、+2,+5,+8 になるようにとります。 +2が入るときには、残りの2行は、+5と+8しかありません。 それ以外では3×3のマスの中で重複します。 (7)～(9)の中で、入れ替えたものはたぶん大丈夫。 このように作ると、重複を避けながら、全部埋めることができます。 （作り方は以上） 数学の問題としては、↑のを適当に入れ替えたもの以外の、本質的に異なるものがないのか、もっと真剣に考えないといけないかもしれませんが、時間がないのでここでは示しません。 何か勘違い書き間違い等がありましたら、すみません。
お礼
回答ありがとうございます 大変分りやすい解説で納得いたしました ありがとうございました