置換積分

質問

関数を括弧内の置換によって積分する問題です。

1/x^2√(1-x^2) (x=sinθ)

なぜこのような置換のしかたになるのかが分かりません。教えていただけないでしょうか？

回答No.3

joggingman

このタイプは、覚えておいた方がいいのかもしれません。
{-√(1-x^2)/x}'=1/{x^2√(1-x^2)}

x=sinθ　とおくと、
∫cosθdθ/{(sinθ)^2*cosθ}=∫dθ/(sinθ)^2
=(1/2)∫dθ/(1-cosθ)　+(1/2)∫dθ/(1+cosθ)

t=tan(θ/2)　と置換すると、sinθ=2t/(1+t^2),cosθ=(1-t^2)/(1+t^2),
dθ=2dt/(1+t^2)

(1/2)∫dθ/(1-cosθ)=(1/2)∫dt/t^2=-(1/2)(1/t)=-(1/2){1/tan(θ/2)}
(1/2)∫dθ/(1+cosθ)=(1/2)∫dt=(1/2)t=(1/2)tan(θ/2)

tanθ=x/√(1-x^2)=y,tan(θ/2)=s
tanθ={2tan(θ/2)}/{1-(tan(θ/2))^2}より、
ys^2+2x-k=0
s=tan(θ/2)={-1±√(1+y^2)}/y=-{√(1-x^2)±1}/x

(x/2)/{√(1-x^2)±1}-(1/2){√(1-x^2)±1}/x
=-{√(1-x^2)}/x

回答No.2

abyss-sym

例えば、t=f(x)と置換した場合は、両辺をxで微分して dt=f´(x)dx となります。
x=sinθ の場合も同様に、両辺をxで微分して dx=cosθdθ となります。
あまり深く考えず、両辺とも微分して、それぞれの変数に合わせてdtやdxやdθなどを付ければいいだけです。

回答No.1

abyss-sym

これは置換積分の特殊な形です。
1/√(a^2-x^2) が式に含まれている時は x=asinθ として置換積分するのが一般的です。これはこれで覚えておくのが得策かと思います。
他にも、1/(a^2+x^2) のような場合は、x=atanθとしてやる方法があります。

補足

置換積分では『t』とおいてその両辺をxで微分するパターンが基本ですがこの場合は『x=sinθ』の両辺を何で微分すればいいのですか？