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部分積分、置換積分

積分の問題がでたとき、部分積分で解くのか置換積分で解くのか区別ができません。何か区別の仕方とかあるのでしょうか。教えてください。

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  • 回答No.4
  • ka1234
  • ベストアンサー率51% (42/82)

こんにちは。 「部分積分法」は「積の微分法」の逆で、 「置換積分法」は「合成関数の微分法」の逆というのは分かりますよね。 と言う事で、「積分」をするときはいつも頭の中で「微分」しながらやると 良いでしょう。検算にもなります。 「置換積分」と「部分積分」の見分け方のアドバイスは私にはできないので、 推薦図書を2つあげておきます。参考になればよいのですが。 たくさん問題を解いて(やっぱりこれは大前提です)、解く問題が無くなってきたら、 難しめのものに挑戦しましょう。次の2つを通り抜けられたらとりあえず積分計算に 関しては大丈夫と思って下さい。 ・解法の探求II(東京出版)の原則編「積分(1)」 ・微積分/基礎の極意(東京出版)の第一部「計算力のチェック」 置換積分と部分積分の重要問題が集められています。 これらは数学苦手気味の方には難しいと思います。他の参考書が良いでしょう。 難関大学を目指されるのであれば、上のどちらかを手にとってみることを お勧めします。受験会場で、どちらかを開いている人が結構いるはずです。頑張って下さい。

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  • 回答No.3
  • adinat
  • ベストアンサー率64% (269/414)

数をこなせば確かに自然に出来るようになりますが、せっかくなので、基本的な判断の仕方を述べておきます。 置換積分をする問題は非常に多岐にわたり、なおかつ置換の仕方も一通りではないので、部分積分でうまくいくかどうかの判断基準を述べます。 (i)三角関数×多項式 ∫(x+1)(sin x)dx など。これは多項式を微分、三角関数を積分して部分積分すればよいです。多項式の次数がたとえば3次なら三回部分積分します。 (ii)指数関数×多項式 ∫(x+1)e^x dx これも(i)と同じ。 (iii)対数関数×多項式 ∫x log x dx 今度は多項式の方を積分、logを微分します。特に多項式の部分が定数のときも1を積分することにより解決します。 (iv)指数関数×三角関数 ∫e^x(sin x) dx これは求めたい積分をIとおいて、二回部分積分をすると、再びIが出てきます。その方程式を解いてIを求めます。 上の4つの部分積分は超基本であり、なおかつ、大学入試で問われる部分積分の8割以上が上のどれかに属するので、この4つを見たらすぐ部分積分だと判断できるようになりましょう。それ以外の問題は、公式一発で解ける問題か、置換積分をする問題であろう、ということです。

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  • 回答No.2
noname#47975

試行錯誤しかありません..。 部分積分が駄目なら次は置換積分でとか..といった形で地道に解法を見つけるしかありません。 それから、 #1さんのおっしゃるように類題を多くこなして行く事で、見分けるコツが自然と身につくかと思います。

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  • 回答No.1
  • Willyt
  • ベストアンサー率25% (2858/11130)

練習問題を沢山試して下さい。自然に分るようになりますよ(^_^)

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