三角関数

質問

三角関数の問題なんですが、最大値と最小値が与えられていて、式の中にある文字の値を求めるにはどうすればいいのでしょうか？

わかりにくいかもしれませんが、こういう場合の解き方を教えてください。
お願いします。

回答No.2

inara · ベストアンサー

> 0≦a≦1とする。関数y=cos^2x+2asinx+bが最大値2,最小値-1/4をとるとき、a,bの値を求めよ。

sin^2(x) + cos^2(x) = 1 という関係を利用して、cos^2(x) = 1 - sin^2(x) を問題の式に入れると
　　　y = cos^2(x) + 2*a*sin(x) + b
　　　　= - sin^2(x) + 2*a*sin(x) + b + 1
となります。ここで X = sin(x) とおくと
　　　y = -X^2 + 2*a*X + b + 1 --- (1)
です。ただしX の範囲に注意します。x がどんな値をとっても、X は -1 ≦ X ≦ 1 の範囲しか動きません。

つまり問題は、X が -1 ≦ X ≦ 1 の範囲で動くとき、式(1) で表される y の最大値が 2、最小値が -1/4 となるような a, b を求めよ（ただし 0≦ a ≦ 1）ということです。

式 (1) は次のように変形できます。
　　　y = - ( X - a )^2 + a^2 + b + 1
これは上に凸の放物線なので、X = a で最大となりそうですが、そうならない場合もあるので、以下の３つの場合を考えます。
　　(A)　X = a で最大となり、 X = -1 あるいは X = 1 で最小値をとる
　　(B)　X = -1 で最大となり、X = 1 で最小となる
　　(C)　X = -1 で最小となり、X = 1 で最大となる
それぞれの場合の条件から a, b が求められますが、 0≦ a ≦ 1を満足するのは１つだけです。分かりました？

お礼

ありがとうございます。
とてもわかりやすかったです!!
参考になりました。

回答No.1

velvet-rope

確かにわかりづらいですね。
三角関数に限らず、関数と(場合によってはその定義域も)が与えられて、最大値、最小値が決まりますからねぇ。

文字の値って、係数なんでしょうか。

補足

ごめんなさい。
問題は、
0≦a≦1とする。関数y=cos^2x+2asinx+bが最大値2,最小値-1/4をとるとき、a,bの値を求めよ。
です。
解き方のヒントをお願いします。