Σの計算 等差・等比型

質問

Σk(-1)^k　　(PCだと書けないのですが、Σの上は「n」、下は「k=1」です。)
の求め方なのですが、一見「等差・等比型」に見えるので、引き算を試みたのですが、どうも上手くまとまりません。
そこで、具体的な数値を代入したところ、
Σk(-1)^k = -1+2-3+4-5+6-………-(n-1)+n = n/2
になったのですが、k=n=1を代入しても両辺がイコールになりません。
何が違うのでしょうか？どなたか教えてください。

回答No.6

aquarius_hiro · ベストアンサー

A No.5です。

ちょっと誤植がありました。
Sの一般式は、

S = r(1-r^n)/(1-r)^2 - n r^(n+1)/(1-r)
= r[ 1 - r^n {1 + n(1-r)} ]/(1-r)^2

ですね。分子の n(1-r) が nr(1-r) になっていました。
後の計算は変更ありません。

さらに補足しますと、

面倒な計算がいやなときには、次のように求めても良いですよ。

nが偶数のときには、最初から2つずつまとめて、

S = Σk(-1)^k = -1+2-3+4-5+6-...-(n-1)+n
= (-1+2) + (-3+4) + (-5+6) + ... (-(n-1)+n)
= 1 + 1 + 1 + ... + 1

ですが、この1の個数が n/2個になることが明らかなので、

S = n/2

になります。

一方、nが奇数のときには、やはり最初から二つずつまとめると、
最後に -n の項があまるので、

S = Σk(-1)^k = -1+2-3+4-5+6-...-(n-2)+(n-1)-n
= (-1+2) + (-3+4) + (-5+6) + ... (-(n-2)+(n-1)) -n
= 1 + 1 + 1 + ... + 1 - n

となりますが、こんどは 1 の個数は (n-1)/2個なので、

S = (n-1)/2 - n = - (n+1)/2

が得られます。

もう一つ補足します。

S-rSで求めた公式

S = r(1-r^n)/(1-r)^2 - n r^(n+1)/(1-r)
= r[ 1 - r^n {1 + n(1-r)} ]/(1-r)^2

が使えないのは、r=-1ではなくr=1のときです。

なぜなら分母が0になってしまうからです。
そもそも最初のS-rSはS-S=0を計算したことになるのでこの導出が使えないのは明らかですね。

しかし、元の数列はr=1のところでもとくに異常はないのですから、r≠1の式はr→1という極限で、ちょうどr=1のときの式（よく知られた式Σk=n(n+1)/2）に一致するはずです。

このことより、r=1+xとおいて、x→0の極限をとり、上のSの式からr=1の式を導いてみます。

S = (1+x)[ 1 - (1+x)^n {1 + n(-x)} ]/(-x)^2
= (1+x)[ 1 - (1 + nx + n(n-1)x^2/2 +...) (1 - nx)]/x^2
= (1+x)[ 1 - (1 + (-n^2 + n(n-1)/2)x^2 + (x^3以上の項)) ]/x^2
= n(n+1)/2 + (x^1以上の項)

が確かに得られます。これは r=1 の場合を説明したわけですが、r=-1のときにはこんな複雑なことをする必要はもちろんないですね。

お礼

ANo.5～6まで、とても詳しく検討、解説していただき、この問題に対する理解が深まりました！
回答ありがとうございます！

回答No.5

aquarius_hiro

こんにちは。

皆さんのお答えで正しいのですが、補足させていただきますね。

> そこで、具体的な数値を代入したところ、
> Σk(-1)^k = -1+2-3+4-5+6-………-(n-1)+n = n/2
> になったのですが、k=n=1を代入しても両辺がイコールになりません。
> 何が違うのでしょうか？

=n/2になるのは、どのような計算されたのでしょうか。

その計算の過程で、知らず知らずにnを偶数と仮定していませんか？
最後のところで … - (n-1) + n のように + n で終わっているのは、
偶数の場合ですよね。
それが両辺が一致しない理由だと思います。

一般には、

S-rS=Σ_{k=1}^n kr^k - rΣ_{k=1}^n kr^k
=Σ_{k=1}^n kr^k - Σ_{k=1}^n kr^(k+1)
=Σ_{k=1}^n kr^k - Σ_{k'=2}^{n+1} (k'-1)r^k'
=Σ_{k=1}^n r^k - n r^(n+1)
=r(1-r^n)/(1-r) - n r^(n+1)

S = r(1-r^n)/(1-r)^2 - n r^(n+1)/(1-r)
= r[ 1 - r^n {1 + nr(1-r)} ]/(1-r)^2

と求まります。この式が r=-1 で使えない理由はないので、
r = -1 とおいて、

S = [ - 1 + (-1)^n (2n+1) ]/4

が得られます。ANo.4のtinantumさんのお答えに一致していますね。

これで求まっているわけですが、

(-1)^n は n が偶数のとき +1 奇数のとき -1 になるので、場合分けして書くと、

n:偶数のとき　S = [-1 +(2n+1)]/4 = n/2
n:奇数のとき　S = [ - 1 - (2n+1) ]/4 = - (n+1)/2

が得られます。

奇数のほうを偶数の式から導くこともできるので、上の奇数のときの式と一致するか確認してみます。nが奇数なら、n-1は偶数でそのときのS_{n-1}が、(n-1)/2 なので、S_n はこれに -n を加えたものになるわけですから、

S = (n-1)/2 - n = -(n+1)/2

が得られ、確かに一致します。

具体的な数値を代入してみると、

n=1でS=-1、n=2でS=1、n=3でS=-2、n=4でS=2、…

となり正しい結果になっていることがわかります。

回答No.4

tinantum

S= -1+2-3+4-5+6-………+n(-1)^nの両辺に(-1)をかけると
-S= 1-2+3-4+5 … +(n-1)(-1)^n +n(-1)^{n+1}
となり、上の式から下の式を引くと
2S = -1 + T -n(-1)^{n+1} = -1 + T +n(-1)^n … (1)
ここで、
T=1-1+1-1+1… +(-1)^n = Σ(-1)^k
です。これは等比そのものです。やはり同様に求められます。
実際、-1を両辺にかけて
-T = -1+1+1-1+1… +(-1)^{n+1}
両式をひいて
2T = 1 - (-1)^{n+1} = 1+(-1)^n
よって
T = (1+(-1)^n)/2
これを(1)に代入してＳを求めると
S
=(-1 + (1+(-1)^n)/2 +n(-1)^n)/2
=(-1 + (2n+1)(-1)^n)/4
ですね。

お礼

上4行は自力で出来ましたが、それ以下は考えつきませんでした。
ご丁寧に回答していただき、ありがとうございます！

回答No.3

kazumero

n/2になるのは、kやnが偶数の時だけですね。
極限の世界では「振動する」と言います。

お礼

「極限」はまだ習っていないので、何とも言えませんが、習ったときにまた考えてみたいと思います。
回答ありがとうございました！

回答No.2

LPLBIF

nが偶数の場合と奇数の場合で分けてみるとうまくいきますよ。
nが偶数の場合は質問者様の解き方で間違いありません。

お礼

偶数と奇数の場合分けですか。それは思いつきませんでした。
回答ありがとうございます！

回答No.1

abyss-sym

ｎが偶数のときと奇数のときに分けて考える必要があると思います。
Sn=Σk(‐1)^kとして
S1=－１、S3=－２、S5=－３
S2=１、S4=２、S6=３
というふうに見ればわかりやすいと思います。

お礼

偶数と奇数の場合分けですか。それは思いつきませんでした。
回答ありがとうございます！