等差等比数列の和を微分で求める正しい手順

質問

等差等比数列の和を微分で求める正しい方法を教えて下さい。
※前回の質問から本やネットで調べたのですが、
　分からないので質問します。

まず、以下のサイトの「期待値」の項をご覧ください：
https://ikuty.com/2018/10/12/geometric_distribution/

ここでは、問題の式
　　　　pΣ[k=1, ∞] k(1-p)^(k-1)
とは（今のところ）無関係そうな
　　　　1/(1-x) = 1 + x + x^2 + ... = Σ[k=0, ∞] x^k
…が何の前触れもなく突如現れます。

そして、右辺を微分すると
　　　　Σ[k=1, ∞] k(1-p)^(k-1)
になって、「ああ、pを掛ければ問題の式と同じだ」となります。

…それはもしかして、
　　　　1/(1-x) = 1 + x + x^2 + ... = Σ[k=0, ∞] x^k
の微分した値が問題の式と同じになると前もって知っていたから
この解法に使えているだけですよね？
逆に、何を微分したらこの問題の式と同じになるかを知らなかったら、
この方法は使えないですよね？
（今回の問題の式程度なら一目瞭然かもしれませんが）

ですから、本来なら、問題の式
　　　　Σ[k=1, ∞] k(1-p)^(k-1)
の(1-p)をxと変換して、
　　　　Σ[k=1, ∞] kx^(k-1)
これを積分すると
　　　　Σ[k=0, ∞] x^k
になり、初項1、公比xの無限等比級数なので
　　　　1/(1-x)
になりました
では、両辺を微分しましょう
…というのが正しい流れではないでしょうか？

どうか教えて下さい。
お願いします。

回答No.1

tmppassenger

何が引っ掛かっているのかが分からない。

例えば、積分にしろ∫(dx/sinx)の場合は、"t = tan(x/2)とおけばうまく行く"とか、∫dx/√(x^2+1) の場合は "t = x + √(x^2+1)とおけばうまく行く" とか、いきなり出てくる訳です。本には「このパターンだと、こういう式変形をするとうまく行く」とか載っていますが、これだって天下りです。

難しい例を言えば、
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A4%E3%83%87%E3%82%A2%E3%83%AB_%28%E7%92%B0%E8%AB%96%29
かつてKummerはFermat予想を解こうとした時、ある環が一意分解環にならない問題をなんとかしようとして「理想数」という概念を導入した結果、（完全解決ではないけれども）とある場合にはFermat予想が肯定的に解かれることを導きました。しかし、このKummarの「理想数」という考え方はとても難解だったので、これをDedekindが整理して「イデアル(ideal)」という概念をひねり出しました。

で、現代の私達は、環について勉強するとき「ここでイデアルというものを定義します」と、いきなり習う訳です。上のような歴史的背景をみて、まずKummarの理想数を説明してから... とかいうやり方は絶対にしません。
その他にも、解析や位相の世界では「コンパクト」とかいう、最初見た時には、何の役に立つのか、またなんでこんな概念を思いついたのか、全く分からない概念がいきなりポンと出てきます。

つまりは、なにか「流れがどうの」とかこだわってますが、要は過去先人達が悩んだ経緯を通して、「こうすれば分かり易い」として整理された結果であって、われわれは現在数学を習う上で、その結果を享受しているわけです。

... 最後にいっておきますが、項別積分、項別微分は「無条件に」できる訳ではないことに注意すること。一般には、級数の収束が「一様収束」であるとかの条件が必要になる。

お礼

ご回答ありがとうございます。

質問1. 問題の式を積分して当たりを付けることはありますか？
はい　いいえ

質問2. 「等差等比数列の和変換表」をお持ちですか？
はい　いいえ

質問3. 他に解く方法がありますか？
はい　いいえ

やはり数学の世界には天下りがあるんですね。
私も、
「今のレベルではまだ習っていない定理を使うので、
　今はこういうものだと思って下さい」
と断った上での天下りならば、仕方ないかなと思います。
でも、軽くその定理について
検索できるぐらいの説明は欲しいです。

さて、私が引っ掛かっているのは、
今、私はこの形の等差等比数列の和しか解けないことです。
もし次回、別の形の等差等比数列の和が出た場合でも
解けるようにヒントを頂きたいのです。

例えば、
Σ[n=1,∞]n^2 x^(n-1)
を皆さんはどうやって解いているのですか？
（ちなみに、答えはここ↓
https://math.stackexchange.com/questions/2941650/summation-of-a-geometric-sequence-from-1-to-infinity-for-n2-times-fr
　にあるようです。）

推測するに、皆さんは
（私が質問の中でお見せしたように）
積分して当たりを付けているか、
もしくは、
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A9%E3%83%97%E3%83%A9%E3%82%B9%E5%A4%89%E6%8F%9B#%E5%A4%89%E6%8F%9B%E8%A1%A8
の「ラプラス変換表」のような
「等差等比数列の和変換表」をお持ちなのでは、
と思っています。
それとも別の方法があるのでしょうか？
すみませんが、よろしくお願いします。