△ABCが鋭角三角形のときtan(A)tan(B)tan(c)≧3√3

質問

△ABCが鋭角三角形のとき、

tan(A)tan(B)tan(c)≧3√3

が成り立つことを凸関数を用いて示したいのですが、どのような凸関数を使えばよいのでしょうか?

回答No.1

Mr_Holland · ベストアンサー

凸関数には、そのままtanを使えばよいと思います。
　以下に示しますので、参考にしてください。

(方針1)　tan(A)tan(B)tan(C)＝tan(A)+tan(B)+tan(C) であることを示す。
(方針2）　凸関数の性質から、tan(A)+tan(B)+tan(C)≧3√3 であることを示す。

(方針1の証明)
　　tan(A)tan(B)tan(C)
　＝tan(A)tan(B)tan(π-A-B)　　(∵∠A,∠B,∠Cは△ABCの内角。ie.A+B+C=π）
　＝-tan(A)tan(B)tan(A+B)
　＝-tan(A)tan(B)×{tan(A)+tan(B)}/{1-tan(A)tan(B)}　（加法定理より)
　＝{tan(A)+tan(B)}×{-tan(A)tan(B)}/{1-tan(A)tan(B)}　
　＝{tan(A)+tan(B)}×[1-1/{1-tan(A)tan(B)}]
　＝{tan(A)+tan(B)}－{tan(A)+tan(B)}/{1-tan(A)tan(B)}
　＝{tan(A)+tan(B)}－tan(A+B)
　＝tan(A)＋tan(B)＋tan(π-A-B)
　＝tan(A)＋tan(B)＋tan(C)
　∴tan(A)tan(B)tan(C)＝tan(A)＋tan(B)＋tan(C)　　　・・・・（A)

(方針2の証明）
　関数tan(x)の2階微分は 2sin(x)/{cos(x)}^3 であるので、0＜x＜π/2 の範囲で常に正。
　従って、0＜x＜π/2 の範囲で、関数tan(x)は凸関数である。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%87%B8%E9%96%A2%E6%95%B0#.E5.87.B8.E9.96.A2.E6.95.B0.E3.81.AE.E6.80.A7.E8.B3.AA

　凸関数の性質から、0＜A,B,C＜π/2 の範囲で、次の関係が導き出せる。
　　tan(A)＋tan(B)＋tan(C)
　≧3×tan{(A+B+C)/3}
　＝3×tan{π/3}　　（∵A+B+C＝π)
　＝3√3　　　　　　・・・・・・・・(B)

　以上の証明より、(A)と(B)から、
　　tan(A)tan(B)tan(C) ≧ 3√3
といえる。

　なお、凸性については、次のサイトで詳しく述べられているので、よかったら参考にしてみてください。
http://homepage3.nifty.com/sugaku/totutan.htm

お礼

ご回答、感謝いたします。

y=logtan(x)
が凸関数だとしたら、
(1/3){logtan(A)+logtan(B)+logtan(C)}≧logtan(A＋B+C)/3
より
tan(A)tan(B)tan(c)≧3√3

が証明できると思ったのですが、
y'=1/tan(x)cos^2(x)=2/sin(2x)
y''=-4cos(2x)/sin^2(2x)
となり、上に凸であることが0≦ｘ≦π/4に限られるので、
うまくいかずなやんでいました。