ABCが鋭角三角形のとき、

質問

ABCが鋭角三角形のとき、
sin^2(A)+sin^2(B)+sin^2(C)≦5/4
が成立する証明を教えてください。お願いします。

回答No.4

staratras

No.1&3です。回答のさらに続きです。
やや技巧的ですが、以下の式変形のみによる解法もあります。

sin^2(A)+sin^2(B)+sin^2(C)=(1-cos2A)/2+(1-cos2B)/2+sin^2C
=1-(1/2)(cos2A+cos2B)+sin^2C
=1-cos(A+B)cos(A-B)+sin^2C
=1+cosCcos(A-B)+1-cos^2C
=2-(cos^2C-cos(A-B)cosC)
=2-〔｛cosC-(1/2)cos(A-B)｝^2-(1/4)cos^2(A-B)〕
=2-｛cosC-(1/2)cos(A-B)｝^2+(1/4)(1-sin^2(A-B)
=9/4-｛cosC-(1/2)cos(A-B)｝^2-sin^2(A-B)≦9/4

ただし、等号はcosC-(1/2)cos(A-B)=0 かつsin(A-B)=0 のとき
sin(A-B)=0　からA=B より　cos(A-B)=1 だからcosC=1/2 ,
0<C<π/2 の範囲では　C=π/3 A+B=2π/3 だから、A=B=C=π/3

回答No.3

staratras

No.1です。回答の続きです。
>ABCが鋭角三角形のとき、
sin^2(A)+sin^2(B)+sin^2(C)≦5/4　は成り立ちませんが、では右辺の数値がいくつであれば、成り立つのでしょうか。サインの絶対値は1以下ですので2乗も1以下なので、３以上なら自明ですが、A、B、Cが鋭角三角形の内角という条件がありますので、もっと小さくできます。実はNo.1の反例がそのギリギリの数値で
>ABCが鋭角三角形のとき、
sin^2(A)+sin^2(B)+sin^2(C)≦9/4 　です。これを示します。

A+B+C=π　なので、A,B,Cのうち２つが決まれば、残りのひとつは自動的に定まる。
そこで、最初はAを与えられた数値、Bを変数と考える。Bについての関数
f(B)=sin^2(A)+sin^2(B)+sin^2(C) とする。C=π-(A+B)より、
f(B)=sin^2(A)+sin^2(B)+sin^2(A+B)
Bで微分すると
f'(B)=sin2B+sin(2A+2B)
f'(B)=0 より　sin2B=sin(-(2A+2B)) 2B=2nπ-(2A+2B)、または2B=(2n+1)π+(2A+2B)
4B=2nπ-2A より　B=(1/2)(nπ-A) 、2A+(2n+1）π=0より　A=-(2n+1)π/2
このうち、0<A、B<π/2 を満たすのは、B=(π-A)/2　この前後でのf'(B)の正負の変化から
f(B)はf((π-A)/2)=sin^2(A)+sin^2((π-A)/2)+sin^2((π+A)/2) がこの範囲での最大値である。
次にこれをAについての関数と考え、その増減を調べる
f（A)= sin^2(A)+sin^2((π-A)/2)+sin^2((π+A)/2)
f(A)=sin^2(A)+2cos^2(A/2)
これをAで微分すれば
f’（A）=2sinAcosA-sinA=sinA(2cosA-1)
0<A<π/2 の範囲でf'(A)=0となるのは、A=π/3 この前後でのf'(A)の正負を考えると
f(A)は　f(π/3)=sin^2(π/3)+sin^2(π/3)+sin^2(2π/3)=9/4 が最大値である。

したがって三角形ABCが鋭角三角形のとき、
sin^2(A)+sin^2(B)+sin^2(C)≦9/4　が成り立つ。等号はA=B=C=π/3　すなわち正三角形のとき。

回答No.2

bran111

証明は略しますが以下の公式があります。

A+B+C=π

のとき

sin^2(A)+sin^2(B)+sin^2(C)=2(1+cosAcosBcosC)

(例えば岩波、数学公式、II. P199)

これを使うと

sin^2(A)+sin^2(B)+sin^2(C)=2(1+cosAcosBcosC)≦5/4

を証明しろということになりますが整理すると

cosAcosBcosC≦-3/8

となり鋭角三角形ではcosA、cosB、cosCいずれも正。

よって

cosAcosBcosC＞0

となり

sin^2(A)+sin^2(B)+sin^2(C)≦5/4

は到底成り立ちません。

回答No.1

staratras

>ABCが鋭角三角形のとき、
sin^2(A)+sin^2(B)+sin^2(C)≦5/4

上の式は成り立ちません。
反例：三角形ABCが正三角形のとき、
A=B=C=π/3 だから、sinA=sinB=sinC=√3/2
sin^2(A)+sin^2(B)+sin^2(C)=(3/4)×3=9/4>5/4