内心でできる三角形の分割比

質問

図の鋭角三角形において、点Pが内心の場合、
△DEF/△ABC
＝2sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2) / cos((B-C)/2)cos((C-A)/2)cos((A-B)/2)
となるらしいのですが、どのようにして示せばよいのでしょうか。

回答No.3

staratras

No.2です。誤記の訂正と補足です。

（誤）△PCA:△PAB:△PBC=c:a:b なので　

（正）△PCA:△PAB:△PBC=b:c:a なので　

（補足）△ABCの内接円の半径をrとすると、
△PCA=br/2 △PAB=cr/2 △PBC=ar/2 だから

回答No.2

staratras

あまりスマートな回答ではありませんが、途中を省略せずに書きました。

三角形の頂角の2等分線は対辺を隣り合う辺の比に内分するので
△ABDにおいて　AP/PD=AB/BD　…(1)
△ACDにおいて　AP/PD=AC/CD　…(2)
(1)(2)から　　AP/PD=AB+AC/BD+CD=AB+AC/BC
よって　　　　PD=AP×BC/(AB+AC)
ここで　AB=c BC=a AC=b と表すと
PD=AP×a/(b+c) 同様にPE=BP×b/(a+c) PF=CP×c/(a+b)

ここで△PFD=(1/2)*PF*PD*sinFPD=(1/2)*AP*CP*ac/(a+b)(b+c)*sinFPD
△PDE=(1/2)*PD*PE*sinDPE=(1/2)*AP*BP*ab/(b+c)(a+c)*sinDPE
△PEF=(1/2)*PE*PF*sinEPF=(1/2)*BP*CP*bc/(a+b)(a+c)*sinEPF

一方△PCA=(1/2)AP*CP*sinAPC=(1/2)AP*CP*sinFPD 同様に対頂角は等しいから
　　△PAB=(1/2)AP*BP*sinDPE
　　△PBC=(1/2)BP*CP*sinEPF

したがって　△PFD/△PCA=ac/(a+b)(b+c)
△PDE/△PAB=ab/(b+c)(a+c)
△PEF/△PBC=bc/(a+b)(a+c)

△ABC=△PCA+△PAB+△PBC, △DEF=△PFD+△PDE+△PEFであり、
△PCA:△PAB:△PBC=c:a:b なので　
△DEF/△ABCは三分割した三角形同士の比の重み付き平均と考えられるので
△DEF/△ABC=ac/(a+b)(b+c)×b/(a+b+c)+ab/(b+c)(a+c)×c/(a+b+c)+bc/(a+b)(a+c)×a/(a+b+c)
=2abc(a+b+c)/(a+b)(b+c)(c+a)(a+b+c)
=2abc/(a+b)(b+c)(c+a)…(3)

正弦定理と倍角の公式から　a=2RsinA=4Rsin(A/2)cos(A/2) （Rは外接円の半径）
同様に　b=4Rsin(B/2)cos(B/2) c=4Rsin(C/2)cos(C/2)

(3)式の分子=2abc=128R^3×sin(A/2)cos(A/2)sin(B/2)cos(B/2)sin(C/2)cos(C/2)
=128R^3×sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2)cos(A/2)cos(B/2)cos(C/2)
=128R^3×sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2)cos((π-(B+C))/2)+cos((π-(A+C))/2)cos((π-(A+B))/2)
=128R^3×sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2)sin((A+B)/2)sin((B+C)/2)sin((C+A)/2)

(3)式の分母=64R^3×(sin(A/2)cos(A/2)+sin(B/2)cos(B/2))(sin(B/2)cos(B/2)+sin(C/2)cos(C/2))(sin(C/2)cos(C/2)+sin(A/2)cos(A/2)
=64R^3×(1/2)((sinA+sin0)+(sinB+sin0))(1/2)((sinB+sin0)+(sinC+sin0))(1/2)((sinC+sin0)+(sinA+sin0))
=8R^3×2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2)×2sin((B+C)/2)cos((B-C)/2)×2sin((C+A)/2)cos((C-A)/2)
=64R^3×cos((A-B)/2)cos((B-C)/2)cos((C-A)/2)(sin(A+B)/2)(sin(B+C)/2)(sin(C+A)/2)

よって△DEF/△ABC=2sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2)/cos((A-B)/2)cos((B-C)/2)cos((C-A)/2)