sinθとcosθの見分け方

質問

鋭角三角形ABCがあり、AB=5、AC=4√2、∠ACB=45°である。
またAからBCに下ろした垂線の足をH、CからABに下ろした垂線の足をKとする。
このとき、AH=□、sin∠ABC=□、CK=□、BK=□である。

AH、sin∠ABCまの値までは求まったのですが、そのあとからがわかりません。
CK=7×sinθ=7×4/5=28/5
BK=7×cosθ=7×3/5=21/5
これは図からして謎だったんですが、
Kを頂点とするΔKBCはどうしたらどこがsinθ、cosθわかるのですか？
基本形の図（教科書などで角が90°のところがtanとなってる図）と照らし合わせてみても
なぜこういう風にとらえられるのか、直角三角形が基本形から回転すると、
どこがsinθでcosθでtanθなのかと何がなんだかわかりません。

回答No.6

fushigichan · ベストアンサー

Love1001さん、こんにちは。
回答が出ていますが、最初から順に考えていったら分かりやすいと思います。

＞鋭角三角形ABCがあり、AB=5、AC=4√2、∠ACB=45°である。
またAからBCに下ろした垂線の足をH、CからABに下ろした垂線の足をKとする。
このとき、AH=□、sin∠ABC=□、CK=□、BK=□である。

まず、図を描いて、三角形ＡＣＨに注目します。
△ＡＣＨにおいて、
∠ＣＡＨ＝∠ＡＣＨ＝４５°
∠ＡＨＣ＝∠Ｒ（直角）
なので、これは直角二等辺三角形となり、
ＡＨ：ＣＨ：ＡＣ＝１：１：√２
ＡＣ＝４√２より、ＡＨ＝４ですね。

次に、△ＡＢＨに注目します。
∠ＡＨＢ＝∠Ｒ（直角）なので、ピタゴラスの定理から
ＡＢ＾２＝ＡＨ＾２＋ＢＨ＾２
ＢＨ＝√(5^2-4-2)=3
ゆえに、ＢＨ＝３
ＢＣ＝ＢＨ＋ＣＨ＝３＋４＝７となります。

また△ＡＢＨにおいて
sin∠ＡＢＣ＝sin∠ＡＢＨ＝ＡＨ/ＡＢ＝４/５

ここまでは求められているんですよね。
ここから
＞CK=7×sinθ=7×4/5=28/5

これが分からない、ということですが、まず
△ＣＢＫに注目します。
これは、底辺をＢＫ
∠ＣＫＢ＝∠Ｒ（直角）ですから、
sin∠ＣＢＫ＝ＣＫ/ＢＣ
ところで、∠ＣＢＫ＝∠ＡＢＣなのですから
sin∠ＣＢＫ＝sin∠ＡＢＣ＝４/５が使えます。

sin∠ＣＢＫ＝ＣＫ/ＢＣより
ＣＫ＝sin∠ＣＢＫ×ＢＣ＝sin∠ＡＢＣ×ＢＣ＝４/５×７＝２８/５
となるんですね。
ここでいう、θ＝∠ＡＢＣ＝∠ＣＢＫとなっています。

＞BK=7×cosθ=7×3/5=21/5

これについても同様ですね。
cos∠ＣＢＫ＝ＢＫ/ＢＣですから
ＢＫ＝cos∠ＣＢＫ×ＢＣ＝cos∠ＡＢＣ×ＢＣとなりますが
sin∠ＡＢＣ＝４/５だったので
cos∠ＡＢＣ＝√{1-(4/5)^2}=3/5（∠ＡＢＣが鋭角なので）
となるので
ＢＫ＝cos∠ＣＢＫ×ＢＣ＝cos∠ＡＢＣ×ＢＣ＝３/５×７＝２１/５

のようになります。ご参考になればうれしいです。

お礼

ご回答をありがとうございます。
いつも私のレベルに合わせていただいた親切な
ご回答はとても助かります。
問題と一緒に載せてあった図にまどわされていましたが、
ご回答を参考に、もう一度解いてみたら、わかるようになりました。

回答No.5

kiriburi

AB=5,AH=4よりBH=3…(1)
CH=AH=4…(2)
(1),(2)よりBC=7
この7がCK=7×sinθの7
θは∠CBK(=∠ABC)
--------------------
BK=7×cosθも同じこと
--------------------
△ABHと△CBKが相似なことに注目すればsinθ,cosθの値がそれぞれ4/5,3/5になることは分かる。

お礼

ご回答をありがとうございます。
「△ABHと△CBKが相似なことに注目」
このひとことだけですべて解決しました。
二つの三角形を相似だとわかりやすいように
書き直してみたら、わかるようになりました。
もともとの問題用の図にかなりまどわされてたようです。

回答No.4

134

えと、作図してみました。

で、△ＡＢＨ　と　△ＣＫＢは、
１角が直角。　他の１角である　∠Ｂが共有なので、同じですね。
したがって、２つの三角形は相似形ですね。

なので、
ＡＢ：ＢＨ：ＨＡ＝ＢＣ：ＣＫ：ＫＢ＝５：４：３
です。
ここで、ＢＣ＝７　なので、
ＣＫ＝７×４／５
ＢＫ＝７×３／５
にきちんとなるように思います。

ちなみに、シータは、∠ＫＢＣ＝∠ＡＢＨを示していると思いますが、具体的に数値化できないので、θと表記しただけ…ですね。

お礼

ご回答をありがとうございます。
△ＡＢＨ　と　△ＣＫＢは相似であること、
これに着目して解かなければならなかったんですね。
これに気づいてなかったんですよね～。
ようやくわかるようになりました。

回答No.3

ONEONE

直角三角形ＡＢＣの∠Ｃ＝90°としBCを底辺とした直角三角形を描いてください。
BC＝a、CA＝b、AB＝cとし、∠Ｂ＝θとすると
sinθ=b/c（高さ／斜辺）
cosθ=a/c（底辺／斜辺）
tanθ=b/a（高さ／底辺）
というのは解るのですよね。これとおなじで
△ＫＢＣの場合∠ＣＫＢ＝９０°
斜辺がBC、高さがKC、底辺がKBという感じで見ると良いんじゃないですか？

サインコサインタンジェントの覚え方が教科書や参考書にあると思うのですが。

お礼

ご回答をありがとうございます。
もう一度問題を解く中で、今度はご回答も参考に自分がわかりやすいように
図を書いてみたら解けました。
スッキリしました。

回答No.2

0shiete

#1です。

補足ですが、回転させるだけでなく、
三角形を頭の中で裏返さないと、
基本形に一致しないこともありますよ。

回答No.1

0shiete

θというのは∠KBCのことですね。

どこがsinθ、どこがcosθというのではないです。
同じ三角形の一角でも、見方を変えれば、
sinにもなるしcosにもなります。

都合のよいように、その三角形を頭のなかで
回転させて、あなたの覚えている基本形に
合わせるようにすればいいのです。

お礼

ご回答をありがとうございます。
そうですね、三角形を自分にわかるような形にもっていかないといけませんね。
ご回答を参考にもう一度解いてみてわかるようになりました。