sin(θ1 + θ2 + θ3)を求める問題

質問

tanθ1 = 1 , tanθ2 = 1/2 , tanθ3 = 1/3,
0<θi<π/2 (i=1,2,3)　とするとき、
sin(θ1 + θ2 + θ3)の値を求めよ

という問題で、
答えは１のようです。
sinθ1 = 1/√2 sinθ2 = 2/√5　・・・
とだしていってみて、
sin(θ1 + θ2 + θ3)＝1/√2 +　2/√5　+　3/√10
としましたが１にならず・・・
甘いということなんでしょうか・・。
過程のアドバイスお願いします・・・
あと先日投稿した問題で、

問題が・・・平面状の点（x.y）が単位￥上を動くとき、15x^2 + 10xy - 9y^2　の最大値と最大値を与える点Ｐの座標を求めよ。ただし、単位演習とは原点を中心とする半径１の円周のことである。
・・・で、答えはＰ（5/√26 ,1/√26）または
Ｐ（-5/√26 ,-1/√26）のとき最大値１６

の回答をしてくださったspringsideさんの回答の中で、

与式が最大になるのは、sin(2θ+α)=1のときで、最大値は13+3=16である。
このとき、2θ+α=π/2なので、θ=(π/4)-(α/2)となり、このθをx=cosθ、y=sinθに代入すれば、x,yの値が判る（sin(α/2),cos(α/2)が必要になるのでちょっと面倒かも。）

という最後の「2θ+α=π/2なので、θ=(π/4)-(α/2)となり」がわかりません・・・。最初の過程は問題ないのですが。

あとtake_5さんは別の方法で、

cos2θ＝a、sin2θ＝bとします。
そうすると、a＾2＋b＾2＝1のとき、k＝12a＋5b＋3の最大値を求める問題に帰着します。
これは、ab平面上で直線：k＝12a＋5b＋3が、円：a＾2＋b＾2＝1に接するときであることは直ぐ分かるでしょう。
それ以降は、簡単と思います。

ごめんなさい。しばらく数学を離れていたためか正解に近いらしきヒントを与えてもらったにもかかわらずこれも「それ以降は」のあと鉛筆が動きませんでした。助け願います・・・

回答No.3

kakkysan · ベストアンサー

INo.1の方の解答の前に

この問題で使用すべきは、
三角関数についての加法定理です

sin(α+β)＝sinαcosβ+cosαsinβ
（ちなみに）　
sin(θ1+θ2+θ3)＝1/√2+2/√5+3/√10　とは出来ません
tan(β＋γ)＝(tanβ＋tanγ)/(1-tanβtanγ)

II　springsideさんの解答では　三角関数の合成の公式　　を利用しています。　

公式：a*sinθ+b*cosθ=√(a^2+b^2)×sin(θ+α)
ただしαは　sinα=b／√(a^2+b^2)　、cosα＝a／√(a^2+b^2)　を満たす角

与式＝５sin2θ＋１２cos2θ＋３k＝12a＋5b＋3
　　＝√(25＋144))×sin(2θ+α)＋３
　　＝13sin(2θ+α)＋３
で　これが最大になるときは　sin(2θ+α)＝１になるとき、すなわち　2θ+α＝π/2になるとき
この式を変形してθ=π/4-α/2　

そのとき　点Pの座標は
x座標＝cosθ=cos(π/4-α/2) 　…cosの加法定理を使って、さらに半角公式を使って求めます。
y座標＝sinθ=sin(π/4-α/2)　も同様です。

III　take_5さんの解答の方が計算は楽そうですね。（でもないかな？）

横軸をa軸、縦軸をb軸として
単位円（原点中心、半径１の円）と
k＝12a＋5b＋3を変形して　直線　b=(-12/5)a+k/5-3/5
の図を描いてください

円周上の点（a、b）に対して　12a＋5b＋3　の値kは
（k/5-3/5　という形になって）b軸との交点（切片）のところで現れてきます。
kが最大値となるとき（すなわち　k/5-3/5　が最大値となるとき）は、直線が円に接する時だという事が理解できると思いますが？（最小値も同様に）
そしてそのときのa,bの値は結局円と直線の接点の座標を求めれば良いわけです。（判別式利用の方法が一番簡単かな？）

以上　図を示せませんので非常に分かりにくいとおもいます。

IIIについては参考書か何かの、「領域と最大値・最小値」という所を見てください。

回答No.4

mister_moonlight

＞それ以降は、簡単と思います。

ご本人の解答がどのような方法を用意されているのか分かりませんが、私なら以下のように解きます。

a＾2＋b＾2＝1‥‥(1)、k＝12a＋5b＋3‥‥(2).
ab平面上で(1)を固定して、(2)を動かしてみると、最大値も最小値も(1)と(2)が接するときである事は容易だと思います。
問題は、その後の計算の進め方です。

(1)と(2)が接するのは、円(1)の中心(0、0)と直線：12a＋5b＋(3-k)＝0との距離が円(1)の半径に等しいときである。
つまり、ここでヘッセの公式を使って、1＝｜3-k｜/√(144＋25)＝｜3-k｜/13.
k＝16、-10となり、kの最大値が16であることが分かる。
あとは、k＝16を(2)に代入して(1)と連立して解くだけ‥‥となります。

回答No.2

mister_moonlight

sin(α + β + γ)＝sin{(α + β )+ γ}＝sin(β＋γ)cosα+cos(β＋γ)sinα＝(1/√2){sin(β＋γ)＋cos(β＋γ)}‥‥(2) なんか持ち出す必要はなかったですね。

α＝π/4　‥‥(1)とβ＋γ＝π/4　‥‥(3)より、α＋β＋γ＝π/2。
従って、sin(α + β + γ)＝sin(π/2)＝1ですね。

回答No.1

mister_moonlight

簡単の為に、表示を変えときます。

tanα = 1 , tanβ = 1/2 , tanγ = 1/3,0<α、β、γ<π/2 とするとき、sin(α + β + γ)の値を求めよ。

tanα = 1で　0<α<π/2 であるからα＝π/4　‥‥(1)
sin(α + β + γ)＝sin{(α + β )+ γ}＝sin(β＋γ)cosα+cos(β＋γ)sinα＝(1/√2){sin(β＋γ)＋cos(β＋γ)}‥‥(2)
tan(β＋γ)＝(tanβ＋tanγ)/(1-tanβ*tanγ)＝1.
0＜β＋γ＜πより、β＋γ＝π/4　‥‥(3)
(3)を(2)に代入すると、sin(β＋γ)＋cos(β＋γ)＝√2より、求める答えは1。