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sinθ、cosθ、tanθの問題
tanθ+1/tanθ=2のとき、次の式の値を求めなさい。 (1)1/sin^2θ+1/cos^2=「4」 (2)1/sin^4θ+1/cos^4=「8」 上記2題の「」の値の求め方を教えて下さい。 また、 この手の問題を解くポイントがありましたら 併せてご回答のほう宜しくお願い致します。
- gohappy0123
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tanΘ=sinΘ/cosΘ ですから、 tanθ+1/tanθ=sinΘ/cosΘ+cosΘ/sinΘ =((sinΘ)^2+(cosΘ)^2)/cosΘsinΘ =1/cosΘsinΘ となり、この値が2なので、cosΘsinΘ=1/2 です。・・・(あ) (1) 与式=((sinΘ)^2+(cosΘ)^2)/(cosΘ)^2(sinΘ)^2 =1/(cosΘsinΘ)^2 なので、これに(あ)の値を代入して下さい。 (2) 与式=((sinΘ)^4+(cosΘ)^4)/(cosΘ)^4(sinΘ)^4 =(((sinΘ)^2+(cosΘ)^2)^2-2cosΘ^2sinΘ^2)/(cosΘ)^4(sinΘ)^4 =(1-2cosΘ^2sinΘ^2)/(cosΘ)^4(sinΘ)^4 なので、これに(あ)の値を代入して下さい。 この問題の場合、(sinΘ)^2と(cosΘ)^2の和が1になることを利用しています。三角関数を扱う時の定石のひとつですね。
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- mister_moonlight
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2人の回答者は思考の盲点に陥っているようだ。 手を動かす前に、問題をよく見て、頭を動かすと良い。 tanθ+1/tanθ=2 より、これを解くと、tanθ=1だから、θ=45°、or、225°。 (1) θ=45°のとき、sinθ=1/√2、cosθ=1/√2 これを求める式に代入するだけ。 (2) θ=225°のとき、sinθ=-1/√2、cosθ=-1/√2 これを求める式に代入するだけ。 θ=45°、or、225° だが、2乗と4乗だから、どちらの場合も正になる。従って、答えは同じ。 それが分かってれば、場合わけの必要もない。
- info22_
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(1) tanθ+1/tanθ=2 両辺自乗して 1+tan^2θ+1+cot^2θ=4 公式 1+tan^2θ=1/cos^2θ, 1+cot^2θ=1/sin^2θ …(☆) を適用すると 1/sin^2θ+1/cos^2θ=「4」 となる。 (2) 1/sin^4θ+1/cos^4θ =(1/sin^2θ+1/cos^2θ)^2-2(1/sin^2θ)(1/cos^2θ) =4^2-2(1+cot^2θ)(1+tan^2θ) (∵(1)の結果と公式(☆)) =16-2(2+cot^2θ+tan^2θ) =16-2(cotθ+tanθ)^2 =16-2*2^2 (∵与条件より) =「8」
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