1+cosθ=tanθのとき，cosθの値

質問

(1) 1+sinθ=tanθ のとき，sinθ の値を求めよ．

(答) {√(2)-1±√(2√(2)-1)}/2

(2) 1-sinθ=tanθ のとき，sinθ の値を求めよ．

(答) {-√(2)+1±√(2√(2)-1)}/2

(3) 1+cosθ=tanθ のとき，cosθ の値を求めよ．

(答) -1 と { (17+3√33)^(1/3) + (17-3√33)^(1/3) } / 3

どのように解くのか教えていただけないでしょうか。

回答No.4

nag0720

＃３です。

ちょっと間違いが。
ルートが抜けてました。

sinθ-cosθ=√2-1
sinθ+cosθ=±√(2√2-1)

sinθ=(√2-1±√(2√2-1))/2

同値性の問題はたしかにありますが、
-1≦sinθ≦1, -1≦cosθ≦1　などを確認しながら解いていって、
最終的に求めた解が、条件を満たすかどうか確認する必要があるでしょう。

sinθcosθ=sinθ-cosθ　の２乗については、
sinθcosθ=±√2-1　となりますが、-√2-1　は不適なので、
sinθcosθ=√2-1　だけになり、問題ないかと。

＞1+sinθ=tanθ=sinθ/cosθ
＞からcosθ=sinθ/(1+sinθ)
＞をsin^2θ＋cos^2θ＝1に代入する方針ではうまくいかないのでしょうか。

sin^2θ＋sin^2θ/(1+sinθ)^2＝1
sinθ=x　とすると、
x^4+2x^3+x^2-2x-1=0
となりますが、この４次方程式を解くのは難しいでしょうね。

別の方法として、
sinθcosθ=√2-1
から、
sin2θ=2√2-2
cos2θ=±√(1-(2√2-2)^2)=±√(8√2-11)
sin^2θ=(1-cos2θ)/2=(1±√(8√2-11))/2
sinθ=±√((1±√(8√2-11))/2)
答が４つ出てきますが、このうち２つが不適で、
sinθ=√((1+√(8√2-11))/2)、-√((1-√(8√2-11))/2)
のみが解となります。
質問欄の解と違っていますが、同じ値です。

お礼

いくつかの解法と解の形を教えていただき感謝しております。

回答No.3

nag0720

1+sinθ=tanθ=sinθ/cosθ
sinθcosθ=sinθ-cosθ
sin^2θcos^2θ=(sinθ-cosθ)^2=1-2sinθcosθ
sin^2θcos^2θ+2sinθcosθ+1=2
sinθcosθ=√2-1
(sinθ+cosθ)^2=1+2sinθcosθ=2√2-1

sinθ-cosθ=√2-1
sinθ+cosθ=±(2√2-1)

sinθ=(√2-1±(2√2-1))/2

(2)は同じ要領で

(3)は、両辺を自乗してcosθだけの式にすれば、cosθの４次式になる。
cosθ=-1はすぐ分かるから、残りの３次方程式はカルダノの公式などを使って解く。

お礼

ありがとうございます。
意外にたいへんでおどろきました。

1+sinθ=tanθ=sinθ/cosθ
からcosθ=sinθ/(1+sinθ)
をsin^2θ＋cos^2θ＝1に代入する方針ではうまくいかないのでしょうか。

また、頂いたご回答で、
sinθcosθ=sinθ-cosθ
を2乗するときの同値性もきになっております。

(3)においても、2乗するときの同値性は考えなくてよいのでしょうか。

回答No.2

spring135

tanθ=sinθ/cosθ

と

sin^2θ+cos^2θ=1

という関係を使ってtanθ、sinθ

を消去します。

回答No.1

gohtraw

一種類の三角関数のみを含む形にすればいいのかな？
例えば（１）だったらｔａｎΘをｓｉｎΘで表してやるとか。