y^x=x^yに含まれている直線的関係について

質問

y/x=x/yの場合にはy=±xとして理解できるのですが、タイトルの式のほうはどのように考えたらよろしいのでしょうか。

回答No.2

zk43 · ベストアンサー

y^x=x^yの両辺の対数をとると、
xlogy=ylogx
logy/logx=y/x
xとyの比は、対数の比にしても変わらない。
もう一度対数をとると、
loglogy-loglogx=logy-logx
(loglogy-loglogx)/(logy-logx)=1
（ただし、x,y>1）
これは、Y=logX上の2点(logx,loglogx)、(logy,loglogy)を結ぶ直線
の傾きは常に１であることを意味する。

お礼

ご教示ご説明ありがとうございます。私には少し難しすぎるようですが勉強させていただきます。

回答No.5

fool_ish

勘違いしている人がいるけど，
log(x) / x は単調でなく，
「y^x=x^y (x, y>0) ならば y=x」は偽．

お礼

ご教示ありがとうございます。直線関係以外の関係も含まれていることにご指摘の点は対応しているのでしょうか。

回答No.4

hogehogeninja

問題の意味は、
今、xとyのあいだにy^x=x^yの関係式が成り立っています、等式が成り立っているので、xとyの間は無関係ではいられません、その場合、この等式をみたすxとyの組(x,y)はどのようなものがありますか？
ということです。

xとyの組は無限にあり、xが正の実数なら必ず対応するyがあります。
実際、たとえばx=10のとき、y=10と選べば、10^10=10^10ですので
y^x=x^yの等式は成り立ちます。
このように、xの値をひとつ選んだとき、y=xととれば明らかに与えられた等式を満たすので、これは求める関係のひとつです。
しかし、実際にはこれは唯一の関係ですので、直線的な関係（y=Axという関係）が必ず成り立ちます。

---------------------
唯一であることを調べるには、
x^y=y^x
という式を
log(x)/x=log(y)/y
と変形します（これはほぼ同じ意味の式で、変形しただけのもの）
この変形で、左辺はxだけ、右辺はyだけの式になっています。
ですので、左辺はxを決めると、yに関係なくひとつ求めることができます。この値をAとします。
このA=log(x)/xというグラフは、縦軸にA、横軸にｘをとると、反比例のグラフA=1/xに似た形になりますので、そのようなグラフを想像してください。
さて、もうひとつのグラフ、B=log(y)/yを用意し、(Bが縦軸、yが横軸、実際は同じグラフですから、やはり反比例のようなグラフになります）縦軸の値がAになるような横軸の点yを探します。
このとき、このグラフはくねくねしていないので縦軸の値がAになるような点はひとつしかないので（A=Bという横一直線の直線とは一点でしか交わらないので）、yの値はひとつだけきまります。ですので、はじめのxからたぐってA=log(y)/yとなるyは唯一しか見出すことができず、y=xは唯一の解となります。

お礼

懇切丁寧なご説明をありがとうございました。やはりこの式はｙ＝ｘ以上の意味がないということになるのでしょうか。

回答No.3

noname#101087

>y^x=x^y

実関数として、x^(1/x) = y^(1/y) と書けますね。

　x, y>0 における x^(1/x) の領域と値域を調べてみる。
　　{Aa-域}　x-領域(a) : (0, e] → x^(1/x)-変域(A) : (0, e^(1/e)]
　　{Bb-域}　x-領域(b) : [e, ∞) → x^(1/x)-変域(B): (1, e^(1/e)]

例えば{Aa-域}において y=x の「直線的関係」が成り立ちそうです。
(…未消化気味です。再吟味してみてください)

お礼

ご教示ありがとうございます。勉強させてください。

回答No.1

hogehogeninja

指数をとると
log(x)/x=log(y)/y

問題は、あるｘが与えられたとき、yはどのような値をとるか？
（ｙはｘでどのようにあらわされるか？）

あるｘが与えられたとき、
log(x)/x はある値Aをとります。
log(y)/y のグラフを書き、log(y)/y=Aとなる点Yを探します。
このとき、自明な解は Y=x
よって、少なくともy=xとあらわされるものがあります。

log(y)/y=Aとなる点の個数によって、任意性が出てきますので、その場合は簡単にはあらわせません（直線的ではない）が、直感的にはlog(y)/yのグラフは単調減少なので、log(y)/y=Aとなる点は一意、という流れなのではないでしょうか。

お礼

早速ご教示ありがとうございます。ご説明を理解できるかどうか地震がありませんが勉強させていただきます。