直線 ｘ＝－3－2ｔ、ｙ＝4＋ｔ ...(1) と直線 x=-3+3t, y=-7+4t....(2)

質問

問題１
直線　ｘ＝－3－2ｔ、ｙ＝4＋ｔ　...(1) と直線 x=-3+3t, y=-7+4t....(2)のグラフを書き、その交点を求めよ。

問題２
直線（１）、（２）のなす角をΘ（0°≦Θ≦90°）とするとき、ＣｏｓΘを求めよ。

問題３
直線（１）と（２）について、それぞれの方向余弦のうち、ｘの値が正であるものを求めよ。

⇔問題１はとけましたけど、問題２と３がわかりませんでした。

まず問題１は、ｘ＝－３－２ｔ＝－３＋３ｓ　ｙ＝４＋ｔ＝－７＋４ｓとしました。ｓと置き換えたのは＝とした時にｔの値が同じとは限らないので、
結果
２ｔ＋３ｓ＝０　ｔ－４ｓ＝－１１となり、
ｔ＝－３、ｓ＝２となりました。
交点は（ｘ、ｙ）＝（３．１）となりました（答）

問題２は
（１）の方向ベクトルと（２）の方向ベクトルがどのようにしたら求めてよいのか解らないのでとけませんでした。　いままで学んだ内容だと、二点P1(-1,3),P2(2,-1)をとおる媒介変数ｔを表せという問題をといてきて、
単純にｐ１ｐ２＝(x-x1,y-y1) をやって方向ベクトルをもとめ、x=x1+tl,y=y1+tmの公式にしたがってx=-1+3t,y=3-4tと方向ベクトルを求めていたのですけど、
今回はｘ－ｘ１にあたる部分が題意を読んで何処なのかわかりませんでした。

題意のｘ＝－３－２ｔ、ｙ＝４＋ｔ　（１）と（２）の式からｘ１の部分をー３、ｙ１の部分を４とみるのでしょうか？
そうすると、ｘ－ｘ１、ｙ－ｙ１のｘ１とｙ１の部分はわかるのですけど、ｘとｙが解らないので、引き算ができず、方向ベクトルが求まりませんでした。

答えをみるとｌ→＝（－２，１）（１）　ｍ→＝（－３、－４）（２）となってました。どうやったらこのように求まるのでしょうか？

問題３は手が付けられませんでした＞＿＜

だれかこの問題詳しく教えてください、宜しくおねがいします！！＞＿＜

回答No.2

springside · ベストアンサー

宿題かも知れませんが、きちんと自分でお考えのようなので。

(2)です。

直線(1)は、(x,y)=(-3,4)+t(-2,1)
直線(2)は、(x,y)=(-3,-7)+t(3,4)

と書けます。ということは、

直線(1)は、点(-3,4)を通って、ベクトル（-2,1)に平行な直線
直線(2)は、点(-3,-7)を通って、ベクトル（3,4)に平行な直線

ということなので、２直線のなす角θは、2つのベクトル（-2,1),(3,4)［←これって、それぞれの直線の方向ベクトルです。］のなす角と同じか、又は、「180°-なす角」です。すると、内積を考えて、

cosθ=(-2*3+1*4)/√(4+1)・√(9+16)
=(-2)/(5√5)
=(-2√5)/25

となります。cosがマイナスなので、θは90°よりも大きいことが判ります。今、0≦θ≦90°なので、求めたい値は、

cos(180°-θ）
=-cosθ
=2√5/25

となります。

答の中で、(2)の方向ベクトルを(-3,-4）としているのは、最初から0≦θ≦90°を考慮しているためです。

お礼

返事を書いていただいて、どうもありがとうございました！！おかげで理解する事ができました！！
今は何度も復習して、覚えてます！！
本当にどうもありがとうございました！！！

回答No.4

pyon1956

問題３は高校の数学の教科書、参考書では単位ベクトル（大きさが１のベクトル）と呼ばれているもののことと考えていいでしょう。正確には「それぞれの直線の方向ベクトルがx軸、y軸と成す角をα , βとしたとき(cosα , cosβ)で表されるベクトル」のことですが、2次元では結局単に直線の方向ベクトルと平行な単位ベクトルというのと変わりません。なお、この２つの直線の方向ベクトルは#2さんが書いておられる、ｔの前についている係数みたいなベクトルですので、この場合
(-2,1)と(3,4)ですね。あとはできますね？大きさで割って条件にあうように符号をつけるだけです。

お礼

返事書いていただいてありがとうございました！！
二次元のなかでは、方向ベクトルと単位ベクトルが変わらないって部分は凄く勉強になりました。
正直すこしゴチャゴチャしてましたけど、
これから、３次元とか勉強した時にハッキリと違いがわかりそれぞれがもっとわかりやすくなると思いました！！
ありがとうございました！！

回答No.3

postro

問題２についてです
あなたは方向ベクトルがわかれば媒介変数表示ができる。
だったら媒介変数表示されたものを見たら方向ベクトルがわかるんじゃないですか？
（逆に考えるだけですよね？）
一つ注意することは、直線の方向ベクトルって反対方向も考えられる。
(a,b)が一つの方向ベクトルだったら、(-a,-b)ももう一つの方向ベクトルだろう。

お礼

ありがとうございました！！

回答No.1

katsuya_731

ひょっとして夏休みの宿題を人にやってもらおうとしてません？
下衆の勘ぐりだったらすみません。

補足

全然ちがいますけどー＿－
数学を勉強していて、たまに複雑に問題とかが、急にレベルアップするので、もっと数学の世界が知りたいので調べてるんです＞＿＜！！　ちなみに、答えもついてます。でも説明とか不親切なときとか多いです＞＿＜
でも、夏休みの宿題とかだと、誤解させてしまったならあやまります＞＿＜！！　ごめんなさい＞＿＜