0.9999…=1がわからない

質問

0.999... - Wikipedia
http://ja.wikipedia.org/wiki/0.999...
を見たのですが理解できません。
イコールは同一って記号って習ったので
0.9999...と続いても最後に0.0000000…1を足さないと1にならないと思うんです。
わかりやすい説明があればよろしくお願いします。

回答No.2

qqqqqhf · ベストアンサー

Ｑ１：　１＝０．９９９９…　か？
Ａ１：　「前提条件」によって「１＝０．９９９９…」となったり「１≠０．９９９９…」になったりする。
　　　しかし、通常はそのような前提条件を採用することのメリットや、過去の経緯を考えると
　　　「１＝０．９９９９…」であるとした方が妥当である。

Ｑ２：「１＝０．９９９９…」は証明可能なのではないか。
Ａ２：Ａ１の前提条件を認めれば可能である。しかし、認めない人にとってはその証明は
　　無意味である。

Ｑ３：１と０．９９９９…は形が全く違う。同じ数だと言うのは納得できない。
Ａ３：分数の２／２と３／３も違う形だが、全く同じ数である。

Ｑ４：Ａ１で、数学で正反対の結果を容認するのは納得できない。論理は絶対なのではないか？
Ａ４：自然数が入っている論理がもし正しいなら、その正しさはその論理内で証明できない。
　　したがって、「１＝０．９９９９…」が結論となる論理も「１≠０．９９９９…」が結論になる論理も
　　矛盾がない限り、その正しさはその論理内で証明できない。

Ｑ５：　Ａ１の「前提条件」とは何か？
Ａ５：　通常は実数の範囲で考え、「実数の連続性」や「０．９９９９…が
　　　無限級数の極限値である」ことなどを前提にする。しかし、説明は複
　　　雑になるが、有理数の範囲で考えることも可能である。

Ｑ６：　「１＝０．９９９９…」の証明には幾つかの初等的手法があるが、これらは無意味なのか？
Ａ６：　前提条件を認めて、無限小数の演算を矛盾無く定義するなら、それらの初等的証明は
　　確かに証明になっている。前提条件を認めた段階でのより単純な証明は存在するが
　　初等的証明には「分かりやすい」という利点がある。

回答No.12

jmh

0.0000000…1 って、どういう意味ですか？

回答No.11

Musicful-hearts

ならないと思うならならないでいいんじゃないですか？
それがあなたの意見ということで、
世間にもならないといい続けてる人もいるわけですし。

回答No.10

zk43

この質問は定期的に出てきますね。
NO3の方のところにも、過去の回答がいろいろあります。

0.999…というのは極限値という意味で、その極限値が1だという
ことです。
9を増やしていくと小さい方から1に近づきます。
その極限値が1になるということは、1よりも小さいところの「どんな」
区間(1-x,1)を設定しても9を増やせば必ずこの区間に入ってしまう
ということです。
たとえば、0.999と止めてしまうと、1より小さいところの「ある」区間
(1-0.00001,1)の中に入ることはできません。
これはどこの有限桁のところで止めても、このようなことが起こりま
す。
しかし、9を無限に続ける場合には、1よりも小さいところのどんな
区間にも入っていくことができます。したがって、1に一致することは
ありませんが、極限値としては１なのです。
（ちょっと感覚的ですが）
高校でlim(n→∞)のような記号を習ったと思いますが、0.(9)nで
9がn個あるという意味とすると、
0.999…＝lim(n→∞)0.(9)n＝1
ということです。
また、0.000…1は「…」が無限にあるという意味かと思いますが、
これも極限値の考え方からすれば、極限値は0です。
この場合は、大きい方から0に近づきますが、0よりも大きいどんな
小さな区間(0,x)にも入っていくことができるからです。
これもlim(n→∞)を使って書けば、
0.000…1＝lim(n→∞)(1/10)^n＝0
ということです。
1/3=0.333…にしても0.333…は極限値という意味で、その極限値が
1/3だということです。
これ以外にも、0.5=0.4999…などとも表わすことができます。
同様に右辺は極限値という意味です。

回答No.9

tuort_sig

X=0.9999…(1)
10X=9.9999…(2)
(2)－(1)を計算すると
9X=9
ゆえにX=1
(1)より
0.999…=1

この一聯の流れを否定することができますでしょうか？
よく見てください。どこにも不備はないはずです。
恐らく１、２行目の特に”…”の部分なんかに疑問を持たれるのかもしれませんが、X自体は確実に定数なので10倍した10Xは、丁度Xの10倍なんです。小数点以下がゴッソリ相殺される感覚に慣れてください。

それでも、どこか疑問でしょうか？

回答No.8

yaoroku

簡単な説明でしたら
１／３＝０．３３３３～
０．３３３３～＊３＝０．９９９９～
でも１／３＊３＝１
よって、０．９９９９～＝１
なのではないでしょうか

回答No.7

noname#69788

初項を０．９、公比を０．１とする無限級数を計算すれば１になります。

回答No.6

noname#30817

0.9999…の9が人知を超えて無限に続いていくってことです。
でも0.0000000…1は有限の数ですから、足してしまうと1.0000…000999…となってしまうわけですよね。
だから0.9999…に足して1になる数があるとしたら0.000…と0が無限に続く数ですね。
0が無限に続く数って、要するに0でしょう？
0を足して1になるのは1ですよね。
つまり、0.9999…=1です。

こんな感じで自分なりに納得してしまうのがいいと思いますよ。
ホントの証明をしようとするとたぶん気が遠くなります。
というか私には理解不能でした。
まぁやるんでしたら、Wikipediaぐらいは理解しないと無理でしょう。

回答No.5

Ichitsubo

>最後に0.0000000…1を足さないと1にならないと思うんです。
これが誤りの根本です。

0.9999...と「無限に続く」数です。
最後が0.000...1と有限な数をたして1になりますか？
）0.9999...99999....99999...
＋0.0000...1
を考えると分かると思います。

別の説明をすると
1-0.9999...の計算をしてみてください。是非とも筆算で。
答えの最後に1が出てきそうですか？
永遠に0が続くでしょうね。
よって1-0.999...＝0
より1＝0.999....です。
そう、1と0.999....は寸分違わず全く同一の数なのです。

それでも、1-0.999...で最後に1が出ると思ってしまいますか？それは0.999...の9をどこかで打ち切ってしまうからです。勝手に打ち切ってはいけません。「永遠に9が続く」のですから。

回答No.4

marori3

0.9999…は下の桁に9が増えるごとに1に対して近付く、
そして9が無限にあるということは1に対して無限に近付く、
無限に近付くということは逆を言えば1と0.9999…との差は0
つまり1。

という認識でいいんじゃないかな。

回答No.3

info22

過去に同じような質問が出ていますので参考にしてください。
http://oshiete1.goo.ne.jp/qa21512.html
http://oshiete1.goo.ne.jp/qa2939422.html
http://oshiete1.goo.ne.jp/qa2680959.html
http://oshiete1.goo.ne.jp/qa2336421.html