√の単純な計算 おしえてください！！

質問

物理の問題　中学レベルを解いていると
解答に
√120^2+490^2≒1.3x10^2　　左辺は全て√の中です。
で計算機を使わないでどういう計算方法をすれば
こんな近似値がだせるのか解りません。

だれか教えていただけませんか？？

回答No.9

info22 · ベストアンサー

＃５です。
問題が間違っていたとのことですね。
＞√(120^2+49^2)≒1.3x10^2

120^2+49^2＝16801＝1.6801×10^4
√(120^2+49^2)＝{√(1.6801)}×10^2＝1.2961867…×10^2
ですが近似値は
x＝√(1.6801)≒1.30
1.2^2＝1.44＜1.68→　1.2＜x
1.3^2＝1.69＞1.68→　x＜1.3
1.2＜x＜1.3
1.68は 1.69に極めて近い値なので
1.29を調べてみる。
1.29^2＝1.6641＜1.68→　1.29＜x＜1.3
1.68は1.6641と1.69の中間よりやや1.69よりですね。
それなら1.29と1.30の1.3よりの1.296を調べて見よう。
1.296^2＝1.679616＜1.6801→1.296＜x＜1.30
xの近似値＝(1.296+1.30)/2≒1.298
とすればいいでね。
こういったことを近似値の必要な桁数まで繰り返せば良いですね。
近似値は
1.298×10^2≒1.30×10^2≒1.3×10^2
近似精度で何処までの桁数を求めたら良いかが決まります。

僕も中学で平方根の筆算計算を習いましたが、今は詰め込み教育反対で、算数の授業内容を減らし、土曜日も休みになって、平方根の計算を教えなくなってしまいましたね。
高校になると関数の微分を習いますのでニュートン・ラプソン法が出てくるかと思います。大学でも微積分をやりますのでニュートン・ラプソン法が出てきます。

今は電卓や関数電卓にもルートの計算ができますね。
ネットのgoogleサイトの検索で電卓計算ができます。
http://www.google.co.jp/
ここで
√(120^2+49^2)
と入力しGoogle検索をすると
129.618671
と計算してくれます。

またWindowsPCにも電卓アイコン（プログラム）が用意されていて
16801[x^y]0.5=
と操作すれば平方根の計算ができます。
129.61867149450344524619583022743
凄い計算精度ですね。

学校がより上に進めば、色々な便利な役立つ計算方法を習い、またパソコンや関数電卓で凄い便利で複雑な計算もできるようになりますよ。

回答No.10

麻野 なぎ（@AsanoNagi）

問題集の解答自体が、電卓で計算することを仮定しているような記がするのですが……。

おおざっぱな方法であれば、

１）かなりおおざっぱ
ルートの中は、(120^2 + 49^2) とのことなので、120^2 に比べれば 49^2 は、かなり小さい。つまり、おおざっぱに言えば、 √(120^2) = 120ぐらい。

２）ちょっと詳しい。
ルートの近似計算では、
√(1 + x) ≒ 1 + x/2 という有名な式があります（ただし、x が十分小さい時）
これを使うと（でも、暗算だとできないと思う）
√(120^2+49^2) = 120√(1 + 49^2/120^2) ≒ 120×(1 + 49^2/120^2/2) ≒ 120× 1.0834 = 130.008

こういう計算方法もあります。

回答No.8

yore917

ANO2です。

中学レベルの問題なので、
120*120+49*49=16,801
12*12=144
13*13=169
14*14=196

よって、与式≒130＝1.3×10^2

という考え方でいいんじゃないでしょうか？高校・大学の数学ならコレじゃダメだと言われるかもしれませんが。参考にならなかったらスミマセン。

回答No.7

fjnobu

Ano1です。
開平法も有りますが、ニュートン・ラフソン法もあります。
機械的に出来て、覚えてしまえば簡単です。

参考URL：

http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/root2/root2.htm

お礼

＞ニュートン・ラフソン法ですか！！
調べてみます！！
ありがとうございました。
なんでみんなこんな方法しってるんのかなぁ～。
大学で習うのかなぁ？

回答No.6

staratras

筆算で平方根を求める方法（開平法）というものがあり、昭和４０年代の高校では教えていました。現在の教科書に載っているかどうかは知りませんが、それほど難しくはないので知っておいても損ではないと思います。

筆算による開平法を使わない場合は次のようにしたらいかがでしょう。
ルートの中は１６８０１になりますが、キリのいい数字で１６８００とします。
　　　　１６８００＝２＾５＊３＊５＾２＊７　（素因数分解）
つまり　１６８００＝（２＾２＊５）＾２＊（２＊３＊７）
　　　　　　　　　＝（２＾２＊５）＾２＊４２
したがって　√１６８００＝２０＊√４２

ここで　６＾２＝３６　７＾２＝４９　から
√４２はこの真ん中くらいだと見当がつきます
そこで６．５＾２＝４２．２５　これでよさそうです
よって　√１６８０１≒２０＊６・５＝１３０

参考URL：

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%96%8B%E5%B9%B3%E6%B3%95

補足

＞筆算で平方根を求める方法（開平法）というものがあり、昭和４０年＞代の高校では教えていました。現在の教科書に載っているかどうかは＞知りませんが、それほど難しくはないので知っておいても損ではない＞と思います。

そうなんですか！？
初めて聞きました。はっきり行ってショックです。
なんでそんな使える計算を教えてくれなくなったんだろう。
だから日本は技術大国じゃなくなってきてるんだ！！
じっくり見てマスターしてみます。ありがとうございました！！

回答No.5

info22

この近似は正しいですか？
√(120^2+490^2)≒1.3x10^2

120^2+490^2＝254500＝25.45×10^4
√(120^2+490^2)＝{√(25.45)}×10^2＝5.0447…
で近似値は
1.3x10^2
とはぜんぜん異なりますがいかがですか？
x＝√(25.45)≒5.0
5^2＝25→　x＞5
5.1^2＝26.01→　x＜5.1
25.45は 25と26.01の真ん中あたりの値
5と5.1の真ん中の5.05を調べてみよう。
5.05^2＝25.5025→　x＜5.05
ちょっとだけ大き過ぎだ。
では5.05より少し小さい5.04を調べてみよう。
5.04^2＝25.4016→　x＞5.04
少し小さ過ぎだ。
ここまでで
5.04＜x＜5.05であることが分かった。
25.45は25.5025と25.4016の中間位の値だから
近似値は5.04と5.05の中間の5.045としよう。
ということで
√120^2+490^2≒5.045x10^2

これは上下を挟んで繰り返して近似値の正確さをどんどんあげていける方法です。
挟み打ちの上下の数値が一致している桁までは正確な近似値です。
正しい近似の桁数を2桁にするなら、挟み打ちの計算回数が２～３回で済みますね。

お礼

おっしゃる通り、これ問題まちがってます。
ごめんなさい。
√(120^2+49^2)≒1.3x10^2です。４９０ではなく４９です。

なるほどなるほど、よくわかりました。
ありがとうございました！！

回答No.4

debut

参考ＵＲＬに開平方の計算のやり方があります。
まねてやれば求められるでしょう。

参考URL：

http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/root.htm

回答No.3

mirage70

計算の仕方は、書きますと複雑になりますので、検索してください。
「平方根の求め方」で検索すれば、「手計算による平方根の求め方」、「平方根の筆算の仕方」が引っかかります。
これを見れば、近似値を出すことが出来ます。

お礼

しらべて見ますありがとうございました！！

回答No.2

yore917

ルートが邪魔なら外してやりましょう。

お礼

早い解答ありがとうございました！！
2乗するってことですよねぇ～。
そこからでないんできないんですよぉー

ちなみに問題少し間違えてました
√120^2+49^2　でした。
すみみません。

回答No.1

fjnobu

両方の辺を、二乗したらどうなりますか？

お礼

早い解答ありがとうございました！！
両辺2乗したら値が近づくのはわかるんですが、
√120^2+490^2を求めよ
って言われて、2乗しても答だせないんですよぉー。

ちなみに問題少し間違えてました
√120^2+49^2　でした。