exp(-x) =~ 1/(1-x)への計算

質問

こんばんは．

exp(-x)　=~　1-ｘ
の証明は，左辺をマクローリン級数で
左辺＝1-x+・・・・(第三項以上は無視)
よって，対数を両辺にかけて，eにもどせば近似できます．

表題のexp(-x)　=~　1/(1-x)への計算ができません．
左辺は同じですが，なぜこのようになるのか教えてください．

回答No.1

adinat · ベストアンサー

たぶん嘘です。exp(-x) =~ 1/(1+x)の間違いだと思います。
これなら左辺は分母分子(1-x)をかけて、(1-x)/(1-x^2)となって、
x^2はx→0のとき十分小さいから無視してだいたい1-xです。
あるいは右辺のマクローリン展開の1次までが左辺のそれと一致します。

exp(-x)はxが増加すると値が減少しますが、右辺は増加するので
とてもこれらが1次近似で等しいとは思えません。

ちなみにマクローリン展開の1次まで一致しているというのは、
ようするに原点で二つの曲線が接しているという意味です。

お礼

回答ありがとうございました．

確かに，おっしゃるとおりでした．

回答者様の式に対して，対数の式に戻して
あげると，

log(1+ｘ)＝～ｘとなり，
exp(x)のマクローリン展開で，1+ｘで止めたもののの対数式に一致しました．

ありがとうございました．