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8組の実数解を持つ方程式の解法
- y=2x^2-1, z=2y^2-1, x=2z^2-1という方程式が8組の実数解を持つことを示す方法について紹介します。
- 三角関数を利用せずに、y=2x^2-1, z=2y^2-1, x=2z^2-1の解法をご紹介します。対称性を活かした方法やグラフを書かずに解く方法を紹介しています。
- y=2x^2-1, z=2y^2-1, x=2z^2-1という方程式を解く方法についてご質問です。三角関数を使わずに解く方法や対称性を利用する方法など、いくつかの解法を紹介します。
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失礼しました。 ＃2、＃3の回答は間違いです。 忘れてください。 y<-1のとき、（1）を満たすxは存在しません。 この一例で充分でしょう。 御免なさい！！
お礼
あっ、そうでしたか。 わざわざご丁寧にありがとうございます。 また何か分かりましたらよろしくお願いします。
x≠0、y≠0、そしてz≠0であるので、それぞれの逆数は存在します。 そこで、(1)～(3)の式の逆数を取り、以下のように部分分数に分解します。 1/y=1/(2x^2-1)=1/{(√2x+1)(√2x-1)}=(1/2){1/(√2x-1)-1/(√2x+1)} つまり、 1/y=(1/2){1/(√2x-1)-1/(√2x+1)} ・・・・ a 同様に、 1/z=(1/2){1/(√2y-1)-1/(√2y+1)} ・・・・ b 1/x=(1/2){1/(√2z-1)-1/(√2z+1)} ・・・・ c これらのグラフから0以外のいかなるy、z、xの値に対しても、それぞれx、y、zに二組の解が存在することが解ります。 それらx、y、zの二組の解の値に対しz、x、yの解が二つづつ存在するので 解が四組あることになります。 更に、z、x、yの解、四組に対し、y、z、xの解が二つづつ存在するので 解が八組あることになります。このy、z、xの値が、最初に与えたy、z、xの値に等しくなれば、解であり、そうでなければ解ではありません。 従って、x、y、zは8組の解をもつことになります。
お礼
御解答どうもありがとうございます。 「逆数を取る」というのはすごい発想ですね。 三角関数の解法もy_akkieさんの解法も文字を減らす方針だと思うのですが、 >これらのグラフから0以外のいかなるy、z、xの値に対しても、それぞ れx、y、zに二組の解が存在することが解ります。 これはｘ、ｙ、ｚを含むa,b,c３式のグラフを３次元で考えるのでしょうか？ 部分分数にすることでグラフの概形が分かりやすくなるのでしょうか？ 力不足ですみません・・・。 そこら辺のところをもう少し詳しく教えて頂けるとありがたいです。
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