複接線と異なる実数解の個数

質問

一般に３次以下の関数
f(x)とg(x)について
f(x)=g(x)の異なる実数解の個数は
y=f(x)のグラフと
y=g(x)のグラフの共有点の個数になりますが、

４次関数f(x)と1次関数g(x)について
y=g(x)のグラフがy=f(x)のグラフの複接線となっている場合
注意しろと先生がおっしゃっていた記憶があります。

f(x)－g(x)=a(x-α)^2(x-β)^2
とあらわせるときに
異なる実数解の個数2個
グラフの共有点2個でなんら問題はないように見えますが何がおかしいのでしょうか
実数解をααββの4個と見るから共有点の個数2個と一致しないのでしょうか。
そもそも僕の記憶違いでしょうか。
お願いします。

回答No.1

alice_44 · ベストアンサー

複接線となっている場合に注意しろ…という話は、
違う問題で聞いたんじゃないかなあ？
記憶がゴッチャになっているんだと思う。

典型的には、コレ→ http://www.aristos-web.com/sozai/TEXT_1A2B_02N.pdf
の p.12 Example 2.3

接点のx座標を x と置いて、接線の個数を求めようとした場合、
x が満たす方程式を立てて、その解の個数と接線の個数が同じ
になるためには、異なる接点での接線どうしが一致してはダメで、
複接線の存在に注意しなければならない。

一方、f(x)=g(x) の異なる実数解の個数は
y=f(x) のグラフと y=g(x) のグラフの共有点の個数と常に等しく、
こっちの話は、複接線とは関係がない。

お礼

あーーーーーーーーなるほど
確かにそのとおりです。
なんかおかしいなと思っていましたが
考えてみれば当たり前のことですね。
すっきりしました。
有難うございました。

回答No.2

noname#157574

例えばf(x)=x⁴-8x² の導関数は
f'(x)=4x³-16x=4x(x²-4)=4(x+2)x(x-2)ですので
f'(x)=0 を満たすxは－2，0，2の3個ありますが
接線の傾きが0になる接線は2本になります。
このことはf(x)のグラフをかけば分かります。

お礼

確かにそのとおりです。
有難うございました。