逆関数の定義？ 覚えるべきか否か

質問

b=f(a)⇔a=f^(-1)(b)についてです。

b=f(a)⇔a=f^(-1)(b)を文字式のように扱い、それを使って解く問題があった気がしました。(理解したうえでの)丸暗記とまでは行かなくても、意識して覚えたほうがいいでしょうか。

回答No.2

kkkk2222 · ベストアンサー

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以前の質問　d/dx∫［a,x］f(t)dt=f(x)を彷彿とさせます。

＞意識して覚えたほうがいいでしょうか

覚えるどころか、無意識に使っています。
f(x)=e^xの逆函数はg(x)=log x
f(x)=x^3の逆函数はg(x)=x^(1/3)
f(x)=1/(x+1)の逆函数は若干計算してg(x)=(1-x)/x

g(x)=f(x)^-1です。
元の函数と逆函数の関係は点(a,b)と点(b,a)の関係です。
元の函数と逆函数がｙ＝ｘが対称の軸になるのは自然です。
f(f(x))^-1=xと元に戻るのも自然です。
逆函数抜きの数学はかんがえられません。

＞b=f(a)⇔a=f^(-1)(b)についてです

質問の真意はこのinverseの記号の意味・・・？。本来はこのinverseは＜逆元＞の意味で扱う対象によって意味が変化します。当方は(-1)乗との混同を避けるために、括弧をつけない表記を使っています。{-1}と表記する人が多いです。

加法に対する逆元はa^-1=-a 、反数が名称です。
乗法に対する逆元はa^-1=1/a 、a^(-1)に一致して、逆数が名称です。
行列に対する逆元はA^-1 名称は逆行列。
函数に対する逆元はf^-1 名称は逆函数。

＞逆関数の定義？　覚えるべきか否か

これもf^-1 表記の慣れ/不慣れ　では？

＞b=f(a)⇔a=f^(-1)(b)を文字式のように扱い

f(g(h(x)))をf・ｇ・ｈの事でしょう。函数（写像）の結合法則の説明で使用されます。（f・ｇ）・ｈ=f・(ｇ・ｈ)のように。ＰＯＩＮＴは＜後ろから順に演算を施す＞です。数学では演算記号だけを取り出して、このように表記する事は珍しくはありません。行列では、一致してABCと自然な表記になります。

いずれの事項も一朝一夕には理解出来ません。

最初に戻って＜覚える/覚えない＞と言うのは何か・・・

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お礼

本当に本当にいつもありがとうございます。

回答No.1

noname#67570

覚えるというよりも、
「そういう記述の方が簡単に表現できるので便利だよ。」
という意味ぐらいに捉えたほうがいいと思います。

この記法の便利なところは、関数をあたかも数字のように扱えることでありますので。