導関数の定義域について

質問

導関数の定義域について
例えば、すべての実数xで微分可能な関数f(x)において、x≧aとするとき、f'(x)の定義域はx≧aですか？それともx＞aですか？
導関数の定義域はいつも開区間になっているような気がするんですが、その理由がいまいち理解していません。もとの関数では定義域に入っているが導関数では定義域に入っていないのは、導関数において分母を0にする数だから、絶対値記号の場合分けの分かれ目だから、という理由で合ってますか？
もし合ってるとしたら、はじめに質問したf'(x)の定義域はx≧aとなりますよね？
とても気になっています。
よろしくお願いします。

回答No.3

alice_44 · ベストアンサー

高校の教わり方だと、左極限・右極限が強調され過ぎているようです。

微分係数の定義 f'(x) = lim[t→x] { f(t) - f(x) } / (t - x) において、
lim[t→x] は、t が『任意の近づき方で』 x へ近づくときを考えています。
左からとか、右からばかりでなく、x を跨いで左右に飛び回りながら
近づいたってよいのです。どのような近づき方をしても、
{ f(t) - f(x) } / (t - x) が共通の値へ近づいていくとき、極限が
『収束する』と定義されているのですから。

左極限と右極限が両方存在して、その値が一致するとき、極限が収束する
というのは、実開区間を定義域とする関数の重要な性質ですが、
そればかりに囚われてしまうと、定義域が開区間ではない関数の収束性が
見えてきません。閉区間で定義された関数の微分係数などは、その好例です。

lim[t→x] は、t が定義域内を任意の近づき方で x へ近づけばよいのですから、
f(x) が x≧a で定義されているならば、f'(a) は、右極限だけを考えれば
よいのです。

お礼

回答ありがとうございました！
とてもわかりやすかったです。
左側微分係数と右側微分係数のいずれかが定義できないなら微分不可能なのでは？と疑問だったので…
とても参考になりました。

回答No.7

alice_44

No.4 には、f(x) (ただし x≧a) の x = a での微分可能性を右微分可能性で考えるのは、
x sin(1/x) の x = 0 での微分可能性を x = 1/(nπ) で考えるのと同じだ　…と
書いてあるように読めたので、質問者が誤解しないように No.5 を書きました。

＞ 右極限だけ存在するのがいいのなら、他の近づき方で微分係数を定義する極限が存在しても微分できるということにしていいだろう
＞ と考えるのは、自然のようにみえます。
＞ この考え方に基づいてたとえば、f(x)=x(sin(1/x))(x>0),=0(x=0) という関数 f の x=0 での「微分係数」を考えると、

とか、書かれていますからね。
No.3 は、そんな莫迦な話をしているのではありません。lim[x→a] { f(x) - f(a) } / (x - a) の lim[x→a] を右極限で考えるのは、
f(x) の定義域が x≧a に制限されているからで、x = 1/(nπ) のように勝手に設定した訳ではないのです。

＞ x が「定義域内を」「任意の近づきかたで」
＞ a に近づいたとき、共通の値へ近づかねばなりません。

と、No.5 に書いたのは、そこを確認するためです。

回答No.6

noname#152421

#4です。

#5で意外なことが書かれているので、少し追加です。

ベクトル解析や多様体論の教科書などで、ストークスの定理などの準備のため閉区間[a,b]で定義された道fの微分可能性を考えたいときに、fの延長g（定義域(a-ε,b+ε)）を持ち出すという記述を何度もみたことがあります。

閉区間で微分とは何ぞや？というのは、難しくいうと境界のある多様体に微分構造をどう入れるか？ということです。境界のない多様体に座標系を入れるときに座標近傍とユークリッド空間の開集合との同相写像を考えますが、境界のある多様体の場合、半空間への相対位相で考えます。

境界のあるものもないものもどちらも使うので境界のないものだけ使うというわけではないというのが#4の冒頭部分であって、質問者の「いつも？」の回答。

ちなみに、右極限による定義と関数の延長による定義は一見違うものではありますけれど結果的に同じになります。ただ、それは相対位相が何かというのがわかってないと理解できないものですが、#5の方は理解しているはず。それで#5のような投稿をする意図がよくわからない（こんなこと書くと当局から削除されてしまうかも）。

x*sin(1/x)の例は、「x を跨いで左右に飛び回りながら近づいたってよいのです。」がアリならこの例もアリと誤解をされないかと思い、例示しました。普通の意味ではもちろん明らかにダメなわけです。座標近傍として開集合どころか連結ですらない離散位相が入った点列に限定すれば無理やり個別に値は計算できるけども、値が異なるから定義に意味がない、ということがいいたかったので、#5が間違ってますよと言ってくれたのは、そういいたかったのでその通りです。x*sin(1/x)が0の近傍で微分可能だと主張したのではないです。

高校生の目に触れないようにしていることもあって、高校レベルでは「いつも」である度合いが高いはずです。

回答No.5

alice_44

No.4 の (＊) のような定義は、
初等的な微分積分において、
それなりに便利に使えるかもしれません。
しかし、位相解析における一般化された
極限の定義と一致しないので、
広く普及はしていません。

関数値の極限は、その定義域の位相を抜きに
考えることはできません。
閉区間に実数からの相対位相をいれた空間上で
極限を考えれば、定義域を制限された関数の
左端点での極限は、もとの関数の右極限と
収束性を含めて一致する と考えるのが自然です。

No.3 に書いたように、lim[x→a] の極限は、
x が「定義域内を」「任意の近づきかたで」
a に近づいたとき、共通の値へ近づかねばなりません。

No.4 の x sin(1/x) の例は、
定義域を x = 1/(nπ) に制限した関数の話なら、
あれでよいのかもしれないし、
実関数の話としては、間違っています。
「任意の近づきかたで」に反していますから。

そのことと、
x ≧ a で定義された関数の x = a での微分係数は
x が「定義域内を」 a へ近づくことから
右極限だけ考えればよいということは、
また別の話です。

回答No.4

noname#152421

質問内容が全部理解できてないので、確認含めての回答です。

> すべての実数xで微分可能

であれば、f'の定義域は実数全体（-∞<x<+∞）になるはずで、「x≧a」でも「x＞a」でもありません。このaというのはどこから出てくるのでしょう？

それと、

> x≧aとするとき

の意味がよくわかりません。

> 導関数の定義域はいつも開区間になっているような気がするんですが

「いつも」というわけでもないです。

高校くらいだと、説明しだすと面倒だから、「x≧aで微分可能」という言い方はアリなんだけれども18禁にして触れないで置こうということかなと思います。

実際、「x≧aで微分可能」とは、aより小さい実数bが存在して「x>bで微分可能」の意味だとして使うという場合があります。ただその定義はそれが書かれている本だけで通用するルールであることに注意。

言い換えると、「x≧aでfと一致する別の関数gが存在して、x≧aを含む開区間で微分可能（このとき、gをfの延長という）」（※）というのと同じです。

右極限だけ存在すればいいことにする方式について、（※）の流儀とは異なりますが、定義としてはそういうのがあってもいいです。でもあとで何かと不都合があるのでそうしていないんでしょう。

右極限だけ存在するのがいいのなら、他の近づき方で微分係数を定義する極限が存在しても微分できるということにしていいだろうと考えるのは、自然のようにみえます。

この考え方に基づいてたとえば、f(x)=x(sin(1/x))(x>0),=0(x=0)をという関数fのx=0での「微分係数」を考えると、f(1/(nπ))=0だから{x=1/(nπ);nは正整数}で考えるとf'(x)=0と思いきや、f(1/((2n+1/2)π))=1/((2n+1/2)π)だから{x=1/((2n+1/2)π);nは正整数}で考えるとf'(x)=1となってしまい、近づき方によって値が異なってしまいます。

このように、自然にみえて実は近づき方に制限を加えると、ある制限の場合に不都合があることがわかる。それは面倒だし、近づき方によって認めたり認めなかったりというのは定義としてよろしくないので、元に戻ってそもそも右極限だけ考えるということはしないようにするのはアリ（というか、多い方法）なんです。その場合は上記のように延長という考え方で閉区間での微分係数を考えたり、開区間だけでしか考えないという方向になります。

だからといって右極限だけ考えるのは間違いというわけではなく、積極的に使うこともあるけれど高校くらいだとあまりみかけないというだけです。多変数だと「ガトー微分」というのがあって、一変数で右極限しか考えないのに相当する概念にあたります。

回答No.2

kabaokaba

>すべての実数xで微分可能な関数f(x)において、x≧aとするとき、f'(x)の定義域はx≧aですか？それともx＞aですか？

すべての実数xに対して微分可能なんだから
f'(a)だって存在するでしょう？
だったら，f(x)をx>=aに制限しようがなんだろうが
f'(x)の定義域だって x>=a です．

導関数の定義域が開区間であることが多いのは
主に理論を構築する上での要請です．
その要請は右微分・左微分を考えないですむということです．
定義としては，
閉区間で微分可能というのだってありです．
右微分係数・左微分係数を適宜採用すればいいのです
ただこうするとあまりに煩雑だから開区間だけで考えて
実際に必要なときはそのつど処理します．
♯実際に・・・・すごくめんどくさい・・・

>導関数において分母を0にする数だから、絶対値記号の場合分けの分かれ目だから、という理由で合ってますか？

これはまったくの間違いです．
導関数では「分母を0」になんてしません．
絶対値はこの議論のどこにもでてきませんし，
微分できない関数はかならず絶対値がでてくるわけでもありません．

お礼

つまり右側微分係数と左側微分係数のいずれかが定義できなくても、開区間で考えたとき微分可能なxについては微分可能となるのですね。
参考になりました。

ただ、
>導関数では「分母を0」になんてしません.
のあたりが意味がよくわかりません…
そりゃそうですね；としか…

回答No.1

naniwacchi

こんにちわ。

x＞ aになると思います。
というのは、

＞導関数の定義域はいつも開区間になっているような気がするんですが
この認識で正しいからです。
微分可能というのは、左微分係数と右微分係数が一致するときだったと記憶しています。
これが閉区間になると、どちらか一方の微分係数がとれなくなるので、微分可能とは言えなくなってしまいます。

極限を考えているので、左極限・右極限で定義を考えないといけないということですね。

お礼

回答ありがとうございました！