この証明問題を解いてください

質問

a,b,cは整数で,ａ＾３＋２ｂ＾３＋４ｃ＾３＝２ａｂｃを満たしています。
このときa=b=c=0であることにはどうやって証明すればいいのですか？

回答No.1

Umada · ベストアンサー

整数問題でよく使う手は、
-範囲を絞り込んでから候補を一つ一つ検討する
-因数に着目する
の二つだと思います。

整数問題は定型的な解き方があまりないので自信なしですが、とりあえず以下のような説明はいかがでしょう。
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aは因数として2を持つ。
何故ならば右辺は2abcで、左辺の第二項・第三項も因数2を持つからである。
そこでa=2k(kは整数)とおく。
すると
8k^3+2b^3+4c^3=4kbc
となり、両辺を2で割ると
b^3+2c^3+4k^3=2kbc
となる。
これは本質的に与式と同じ式であり、今度はbが因数2を持つことを示す。
上と同様にb=2l(lは整数)とおくと
8l^3+2c^3+4k^3=4klc
c^3+2k^3+4l^3=2klc
となって、同様の議論によりcも因数2を持つことになる。
c=2m(mは整数)とおけば
8m^3+2k^3+4l^3=4klm
すなわち
k^3+2l^3+4m^3=2klm
となって最初の式(と本質的に同じ式)に戻り、kはまた2を因数として持つことになる。
すなわちa, b, cは際限なく2を因数として持つ(どれだけ2で割り進んでも整数となる)。そのような数は0しかあり得ない(必要条件)。
逆にa=b=c=0なら与式を常に満たす(十分条件)。
よってa^3+2b^3+4c^3=2abcで、a,b,cが整数ならa=b=c=0に限られる。
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お礼

ご回答有難うございます。これでレポートが完成できます。