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この証明問題を解いてください

a,b,cは整数で,a^3+2b^3+4c^3=2abcを満たしています。 このときa=b=c=0であることにはどうやって証明すればいいのですか?

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  • Umada
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回答No.1

整数問題でよく使う手は、 -範囲を絞り込んでから候補を一つ一つ検討する -因数に着目する の二つだと思います。 整数問題は定型的な解き方があまりないので自信なしですが、とりあえず以下のような説明はいかがでしょう。 ------ aは因数として2を持つ。 何故ならば右辺は2abcで、左辺の第二項・第三項も因数2を持つからである。 そこでa=2k(kは整数)とおく。 すると 8k^3+2b^3+4c^3=4kbc となり、両辺を2で割ると b^3+2c^3+4k^3=2kbc となる。 これは本質的に与式と同じ式であり、今度はbが因数2を持つことを示す。 上と同様にb=2l(lは整数)とおくと 8l^3+2c^3+4k^3=4klc c^3+2k^3+4l^3=2klc となって、同様の議論によりcも因数2を持つことになる。 c=2m(mは整数)とおけば 8m^3+2k^3+4l^3=4klm すなわち k^3+2l^3+4m^3=2klm となって最初の式(と本質的に同じ式)に戻り、kはまた2を因数として持つことになる。 すなわちa, b, cは際限なく2を因数として持つ(どれだけ2で割り進んでも整数となる)。そのような数は0しかあり得ない(必要条件)。 逆にa=b=c=0なら与式を常に満たす(十分条件)。 よってa^3+2b^3+4c^3=2abcで、a,b,cが整数ならa=b=c=0に限られる。 ------

makoto-7
質問者

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