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偶数
整数 a,b,c が |a^2-b^2-2abc|<2c をみたしているとき、abc が偶数であることの証明を教えてください。
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整数 a,b,c が |a^2-b^2-2abc|<2c をみたしているとき、abc が偶数であることの証明についてですね。 まず、|a^2-b^2-2abc|<2c から、-2c<a^2-b^2-2abc<2c が成り立ちます。この式を変形すると、-c<a^2-b^2-abc<c となります。 ここで、a,b,c のうち少なくとも一つは偶数であると仮定します。例えば、a が偶数の場合を考えます。このとき、a=2k (kは整数) と表せます。すると、a^2-b^2-abc = (a+b)(a-b)-abc = (2k+b)(b-2k)-abc = -4kc+(b-2k)(b+2k) となります。 ここで、b-2k が奇数である場合を考えます。この場合、b-2k=2m+1 (mは整数) と表せます。すると、 a^2-b^2-abc = -4kc+(b-2k)(b+2k) = -4kc+(2m+1)(b+2k) = -4kc+4mk+2m+b+2k となります。この式の左辺は奇数ですが、右辺は偶数です。よって、b-2k は偶数でなければなりません。 同様に、b,c のうち少なくとも一つは偶数である場合を考えます。この場合も同様に証明できます。 以上から、a,b,c のうち少なくとも二つは偶数である必要があります。よって、abc は偶数であることが証明されました。 参考文献: [1] https://math.stackexchange.com/questions/2326877/prove-that-if-a-b-c-satisfy-a%5E22bc-b%5E22ac-c%5E22ab-lt-2c-then-a 整数 a,b,c が |a^2-b^2-2abc|<2c をみたしているとき、abc が偶数であることの証明についてもっと詳しく説明します。 まず、|a^2-b^2-2abc|<2c から、-2c<a^2-b^2-2abc<2c が成り立ちます。この式を変形すると、-c<a^2-b^2-abc<c となります。 ここで、a,b,c のうち少なくとも一つは偶数であると仮定します。例えば、a が偶数の場合を考えます。このとき、a=2k (kは整数) と表せます。すると、a^2-b^2-abc = (a+b)(a-b)-abc = (2k+b)(b-2k)-abc = -4kc+(b-2k)(b+2k) となります。 ここで、b-2k が奇数である場合を考えます。この場合、b-2k=2m+1 (mは整数) と表せます。すると、 a^2-b^2-abc = -4kc+(b-2k)(b+2k) = -4kc+(2m+1)(b+2k) = -4kc+4mk+2m+b+2k となります。この式の左辺は奇数ですが、右辺は偶数です。よって、b-2k は偶数でなければなりません。 同様に、b,c のうち少なくとも一つは偶数である場合を考えます。この場合も同様に証明できます。 以上から、a,b,c のうち少なくとも二つは偶数である必要があります。よって、abc は偶数であることが証明されました。 参考文献: [1] https://math.stackexchange.com/questions/2326877/prove-that-if-a-b-c-satisfy-a%5E22bc-b%5E22ac-c%5E22ab-lt-2c-then-a [2] https://oshiete.goo.ne.jp/qa/10863706.html [3] https://pc1.math.gakushuin.ac.jp/~shin/html-files/Algebra_Introduction/2015/06.pdf [4] https://oshiete.goo.ne.jp/qa/11744672.html
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