証明の問題です

質問

整数xを3で割った余りをx'とすれば
a+b+cが3で割り切れる⇔a'+b'+c'が3で割り切れる

ということの証明を教えて下さい。
よろしくお願いします。

回答No.2

MarcoRossiItaly · ベストアンサー

a、b、cが整数と指定されているものとして、話を進めます。

l、m、nを整数として、

a=3l+a'
b=3m+b'
c=3n+c'

と書けます。

a+b+c=3(l+m+n)+(a'+b'+c')=3{(l+m+n)+(a'+b'+c')/3}

(l+m+n)は、整数。
(a'+b'+c')/3が整数となるためには、(a'+b'+c')が3の倍数であればいいですね。

回答No.1

amanita

a=3m+a'
b=3n+b'
c=3p+c' とおく（m,n,pは整数）

a+b+c=3m+a'+3n+b'+3p+c'
=3(m+n+p)+a'+b'+c'

この式から

(1)
a'+b'+c'が３で割り切れるとき
a'+b'+c'=3q(qは整数)と置ける

a+b+c=3(m+n+p)+a'+b'+c'
=3(m+n+p)+3q
=3(m+n+p+q)

m+n+p+qは整数だから、
a'+b'+c'が３で割り切れるとき、
a+b+cは３で割り切れる

(2)
a+b+c=3(m+n+p)+a'+b'+c'より
a'+b'+c'=a+b+c-3(m+n+p)

a+b+cが３で割り切れるとき、
a+b+c=3rと置ける（rは整数）

a'+b'+c'=a+b+c-3(m+n+p)
=3r-3(m+n+p)
=3(r-m-n-p)
r-m-n-pは整数だから、
a+b+cが３で割り切れるとき、
a'+b'+c'は３で割り切れる。