証明問題

質問

すいません。　教えてください。
a,b,c,dは正整数で、(a,b)=(c,d)=1とする。
このとき,a/b+c/dが整数ならば、b=dとなることを示せ。
という問題なのですが、途中までやってみたのですが、
どうしていいかわかりません。
自分の示し方にも自信が無いのでお願いします！

回答No.4

hinebot · ベストアンサー

>(a,b)は最大公約数のことです。
なるほど、わかりました。では解説を。

ad+bcがbdの倍数でなければならないので、正の整数nを使って
ad+bc = n*bd とします。

両辺をbで割ると(b≠0)
ad/b+c = n*d
右辺は整数だから ad/bが整数でなければならない。
条件(a,b)=1から dはbの倍数になります。
同様にして、両辺をdで割ると
a+bc/d = n*b
条件(c,d)=1から bはdの倍数になります。

両方の条件を満たすのは b=d のときのみです。

お礼

ありがとうございます。
最初は説明不足ですいませんでした！
納得の回答です！！
ありがとうございました！！

回答No.5

Rossana

注：問題からするとb≠1かつd≠1が前提にあると思うのですが。以下、この前提が成立しているとして証明します。

(a,b)=(c,d)=1⇔aとbは互いに素、cとdは互いに素
⇒a/b、c/dは既約分数なので両方とも正整数ではない。
　ここで、仮定より
　　 a/b+c/d＝m (mは正整数)…(1)
とおける。
　 (1)⇔m-a/b=c/d
両辺にbを掛けて
　　　　　　　　　　mb-a=b*c/d
　上式で、左辺は正整数であり、右辺はc/dが既約分数なので右辺が正整数となるためにはbがdを因数に持っていなければならない。
　　　したがって、
　　　　　　　　b=nd (nは正整数)…(2)
と書ける。
　同様に、
　　　　 m-c/d=a/b⇔md-c=d*a/b
を考えることにより、
　　　　　　　　d=kb (kは正整数)…(3)
となります。
　よって、(2)を(3)に代入して
　　　d=knd⇔d(1-kn)＝0⇔1-kn=0(∵dは正整数⇒d≠0)
⇔kn=1⇔n=1かつk=1(∵n,kは正整数)
故に、これを(2)、(3)に代入して
　　　　　　　　 b=d
を得る。
　以上b≠1、d≠1として証明しましたが、この前提はどこかに書いてありますか？この前提がなかったらまた少し議論を訂正しないといけませんが…

お礼

ありがとうございました
問題にはb≠1、d≠1の前提はありませんでした。
でも、参考になりました。
ありがとうございます！

回答No.3

upsilon4s

a/b+c/d = k　　(kは正の整数)
⇔ad + bc = kbd　　…（＊）

ここで、＊式を２通りに書き換えます。
　ad = b(kd-c)　　…（１）
　bc = d(kb-a)　　…（２）
(１)式をみると、(a,b)=1 という条件から、
d は b を因数に持つので、正の整数 m を用いて
　d = mb
と書けます。
同様に(２)式から正の整数 n を用いて
　b = nd
と書けます。

したがって、
　d = mb = mnd
⇔d(mn-1) = 0
d は正整数なので
　mn = 1
また、m,n も正整数なので
　m = n = 1

ゆえに、
　b = d

という感じでどうでしょうか？
高校数学から離れているので自身なしです。

お礼

ありがとうございます。
＞(１)式をみると、(a,b)=1 という条件から、
＞d は b を因数に持つので、
というあたりからついていけませんでした(>_<)
自分がばかなのがくやしいです～～
一生懸命理解します。ありがとうございましたー！！

回答No.2

yu-mizu123

(a,b)=(c,d)=1をａｘｂ＝ｃｘｄ＝１と解釈しました。
＞a,b,c,dは正整数で、(a,b)=(c,d)=1とする。
これからａはｂの逆数（１／ｂ）またはｂはａの逆数。
同様にｃはｄの逆数（１／ｃ）またはｄはｃの逆数。
ａｘｂ＝１の式でａ、ｂが正の整数の時、ａ＝ｂ＝１となります。
ａとｂをかけて１になるのは
ａｘｂ＝１→ａｘ１／ａ＝１（逆数をかけると１になる）
この逆数が正の整数という条件になると１しかありません。
違っていたらご勘弁を！。

補足

説明不足ですいません。一番目の方の補足にかいたので
宜しくお願いします。

回答No.1

hinebot

a/b+c/dが整数ということは
a/b+c/d = (ad+bc)/bd ＜通分しただけ＞　となるので、
ad+bc が　bd の倍数であることが必要です。

(a,b)=(c,d)=1から、上記を導く過程で、b=d でなければならない、となると思うのですが、「(a,b)=(c,d)=1」の意味が判らないので、これ以上は判りません。

補足

すいません。説明不足でした。
(a,b)は最大公約数のことです。
例えば(12,18)=6のことです。