証明です

質問

ａ＋ｂ＋ｃ＝０のとき、ａ＾３＋ｂ＾３＋ｃ＾３＝３ａｂｃが成り立つ事を示したいのですが、
まず予式をａ＾３＋ｂ＾３＋ｃ＾３－３ａｂｃ＝０になおしました。そして、ａ＋ｂ＋ｃ＝０よりｃ＝－ａ－ｂとして予式に代入すれば、証明が出来ると思うのですが、なかなかできません。
とても簡単な証明かと思いますが、教えて下さい。

回答No.3

fushigichan · ベストアンサー

ti-zuさん、こんにちは。
＃２yuusukekyoujuさんと同じことなんですが、

＞ａ＋ｂ＋ｃ＝０よりｃ＝－ａ－ｂとして予式に代入すれば、証明が出来ると思うのですが、なかなかできません。

方針は、このti-zuさんのやり方で、バッチリですね。
与式を＝０の形に直さなくても、そのままいけます。

c=-(a+b)
これを、左辺に代入します。

a^3+b^3+c^3=a^3+b^3+(-(a+b))^3
=a^3+b^3+{(-a)+(-b)}^3
=a^3+b^3+(-a)^3+3(-a)^2(-b)+3(-a)(-b)^2+(-b)^3
=a^3+b^3-a^3-b^3-3a^2b-3ab^2
=-3a^2b-3ab^2
=-3ab(a+b)
　　　↑
ここの、a+bに、a+b=-cを代入すると、
=-3ab(-c)
=3abc＝右辺

となるので、これで証明できましたね。
ご参考になればうれしいです。
c={(-a)+(-b)}
と考えて、３乗してやると公式が使えますね。
多分、この符号が分かりにくかったのでは？
頑張ってください。

お礼

今回も丁寧な回答をありがとうございます。公式を使う方法もありますね。いろいろなやり方をしてみます！！

回答No.4

ONEONE

ａ^3＋ｂ^3＋ｃ^3－３ａｂｃ＝(ａ＋ｂ＋ｃ）（ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2－ａｂ－ｂｃ－ｃａ）
というふうに因数分解できます。
これは覚えておかないとわかりにくいと思いますので覚えてしまったほうが良いと思います。
確かにc=・・・の形に直してもできますが、この因数分解の形を覚えていたら早くできますね。
ａ^3＋ｂ^3＋ｃ^3－３ａｂｃ＝(ａ＋ｂ＋ｃ）（ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2－ａｂ－ｂｃ－ｃａ）
ａ＋ｂ＋ｃ＝０だから
右辺＝０
よってａ^3＋ｂ^3＋ｃ^3＝３ａｂｃ

お礼

最終的に私もこの方法で証明しました。回答、有難うございました。

回答No.2

yuusukekyouju

a^3+b^3+c^3-3abcとなおしたあとｃ＾3のところのみに
c=-a-bを代入してください。
a^3+b^3+c^3-3abc=a^3+b^3+(-a-b)^3-3abc
=-3a^2b-3ab^2-3abc
=-3ab(a+b+c)
となりますね。
a+b+c=0ですから当然上記の式は0となります。

お礼

a+b+c=0を利用するのを忘れていました。回答ありがとうございました。

回答No.1

ririnnnohitori

ａ＾３＋ｂ＾３＋ｃ＾３－３ａｂｃを因数分解してみてはどうでしょうか?

お礼

因数分解ですか。やってみます。