微分方程式について教えて下さい２

質問

(2x + e^y)dx + xe^y dy = 0

の解き方教えて下さい

回答No.1

wolv · ベストアンサー

数学素人なので間違ってるかもしれません．
が，たぶん，

ｆ(x,y) = C (Cは(積分)定数)　　　　...（＊）

という関数があると，

∂ｆ　　　　　∂ｆ
――ｄｘ　＋　――ｄｙ　＝ ０
∂ｘ　　　　　∂ｙ

となります．問題文と比較すると，

∂ｆ　　　　　　　ｙ
――　＝　２ｘ＋ｅ　　...（１）
∂ｘ　　　　　　　　

∂ｆ　　　　　ｙ
――　＝　ｘｅ　　　　...（２）
∂ｙ　　　　　　

となります．初めの式はｆのｘによる偏微分として出てきたものなので，
ｙを定数と見なして積分すれば，
もとのｆになります．
（↑これがうそかもしれない．あってるとは思うけど）

（１）から，

ｆ　＝　ｘ＾２　＋　ｘｅ＾ｙ ＋　Ａ（ｙ）　　　　...（１’）

（積分定数？は，ｙの関数である可能性があります．）

同様に（２）から，（ｘを定数と見なしてｙで積分すると）

ｆ　＝　ｘｅ＾ｙ ＋　Ｂ（ｘ）　　　　　　　　　　...（２’）

（１’），（２’）を比較すると，（←これもちょっとあやしい）

ｆ　＝　ｘ＾２　＋　ｘｅ＾ｙ ＋　Ｃ’，（Ｃ’は積分定数）

これと，（＊）から，（←これもちょっとあやしい）

ｘ＾２　＋　ｘｅ＾ｙ ＝　Ｃ
（Ｃは積分定数）

ｙを求めるなら，ｘｅ＾ｙ ＝　Ｃ－ｘ＾２ と変形してから，対数をとって，計算すると，

y = ... = log(C/x - x)　　　．．．（答え）

お礼

有り難うございました。早々助かりました。

回答No.2

Umada

こいつは「完全微分方程式」と呼ばれる種類の微分方程式の可能性を検討すべき問題です。

完全微分方程式とはある関数P(x,y)、Q(x,y)について
　P(x,y)dx + Q(x,y)dy=0　　　(1)
の形を持つ方程式で、
　∂φ/∂x=P(x,y)　　　(2a)
　∂φ/∂y=Q(x,y)　　　(2b)
でを満たす関数φ(x,y)が存在するものを指します。このとき、解は
　φ(x,y)=C　　　(3)
となります。(Cは定数)
完全微分であるかどうかは
　∂P/∂y=∂Q/∂x　　　(4)
が成り立つかどうかで判定されます。(必要十分条件。証明は参考書などで)
基本的にはwolvさんの回答の通りなのですが、φ(x,y)・・・wolvさんの回答のf(x,y)・・・の存在は必ずしも保証されているわけでないので、完全微分かどうかはチェックする必要があります。

さて与えられた問題について考えてみると
　P=2x+exp(y)　　　(5)
なので、yで偏微分するとexp(y)
一方、
　Q=x exp(y)　　　(6)
なので、xで偏微分するとやはりexp(y)となり完全微分方程式であることが分かります。
完全微分方程式におけるφ(x,y)は一般に
　　　　　x　　　　　 y　　
　φ(x,y)=∫P(x,y)dx+∫Q(x0,y)dy　　　(7)
　　　　　x0　　　　
として求められます。問題の式でのP, Qをこれに当てはめると
　φ(x,y)=x^2-x0^2 +(x-x0) exp(y) + x0 exp(y)　　　(8)
を得ます。これを=C(定数)とおいたものが解ですから、
　x^2-x0^2 +x exp(y)=C　　　(9)
x0^2を定数に含めてしまえば
　x^2+x exp(y)=C　　　(10)
あるいは
　y=ln [(C/x)-x]　　(11)
が解であることがわかります。
詳しくは微分方程式の教科書や参考書で「完全微分」のところを読んでみて下さい。

お礼

有り難うございました。