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常微分方程式
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次の公式を使います。 指数関数の積分公式（C1は積分定数） ∫e^(ax)dx=(1/a)e^(ax)＋C1 (1) 指数関数の公式 1/e^(ax)=e^(-ax) (2) 与式dy/dx=xe^(2y)の両辺をe^(2y)で割り、整理すると e^(-2y)dy=xdx (3) となります。そこで(3)を積分すると ∫e^(-2y)dy=∫xdx (4) (4)の左辺は公式(1)より-(1/2)e^(-2y)＋C1 (4)の右辺はC2を積分定数として(1/2)x^2＋C2 となりますね。つまり、 -(1/2)e^(-2y)＋C1=(1/2)x^2＋C2 (5) (5)を整理すると x^2+e^(-2y)=2(C1-C2) (6) 右辺の定数2(C1-C2)を改めて定数Cとすると x^2+e^(-2y)=C となります。
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NO2です。 1/2は両辺に出てくるので、 両辺を2倍すればいいです。 cは定数なので、2倍しても定数であることには違いはありません。 ですので、答えの通りとなります。
お礼
すっかりCが定数だということを忘れていました。ありがとうございます。
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e^(2y)で両辺を割ってxで積分してみてはどうですか？ 右辺はxの積分、 左辺はyの積分になって、 計算できますよ。
補足
申し訳ないのですが、両方積分してみると1/2が出てくるのですが、それはどうしたらよいでしょうか？
- masa072
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両辺に、dxとe^-2yをかけましょう。 すると、 e^-2y*dy=x*dxとなります。 両辺を積分すると… もう大丈夫ですね。 ちなみにc（積分定数）は、「ある定数（c∈R）」なので、最後にｃになるように置きましょう。 （例えば最初はc1と置いて、答のように式変形したときにc=αc1(α∈R)と置きましょう）
補足
申し訳ないのですが、両方積分してみると1/2が出てくるのですが、それはどうしたらよいでしょうか？
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