微分

質問

次の関数を微分しなさい。
1.y=2x√(x^2+1)
2.y=x/√(1-x^2)
3.y=√(1-x)/√(1+x)
4.y=x^2　sin(x+1)
5.y=sinx　cos^2(x)
6.y=sin√(x^2-x+1)
7.y=sin^4(x)　cos4x
8.y=√(1+cos^2(x))
9.y=cosx/(1-sinx)
10.y=(tanx+(1/tanx))

簡単な説明でも結構です。(○○の公式を使って・・みたいな)
非難や愚痴だけはごめんです。

回答No.3

novaakira

教科書や参考書に
{f(x)g(x)}′＝f′(x)g(x)+f(x)g′(x)
という式があるはずです。これを利用します。
1.y=2x√(x^2+1)
f(x)=2x、g(x)=√(x^2+1)とおいて計算すると、
f'(x)=2、g'(x)=1/2×2x×1/√(x^2+1)
となるので
y'=2×√(x^2+1)+2x×1/2×2x×1/√(x^2+1)
=2√(x^2+1)+2x/√(x^2+1)
となります。

2.y=x/√(1-x^2)
この問題は、
{f(x)/g(x)}'={f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}/g^2(x)
という式を利用して解きます。
f(x)=x、g(x)=√(1-x^2)
とおいて、
f'(x)=1,g'(x)=1/2×-2x×√(1-x^2)=-x/√(1-x^2)
となるので、
y'={√(1-x^2)+x/√(1-x^2)}/(1-x^2)
となります。

３番も２番と同じように解いてみてください。
(ちょっとややこしいですが・・・)
4.y=x^2　sin(x+1)
これは１番と同じ式を使います。
f(x)=x^2,g(x)=sin(x+1)
f'(x)=2x,g'(x)=cos(x+1)
よって、
y'=2xsin(x+1)+x^2cos(x+1)

三角関数の微分は理解してますか？
４番のg'(x)ですが、わかりやすく書くと、
g'(x)={sin(x+1)}'
=(x+1)'cos(x+1)=1cos(x+1)=cos(x+1)
となります。

5.y=sinx　cos^2(x)
f(x)=sinx,g(x)=cos^2(x)
f'(x)=cosx,g'(x)=2cosx(-sinx)
よって、
y'=sinx2cosx(-sinx)+cos^2(x)cosx
=-2sin^2(x)cosx+cos^3(x)