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微積の問題で
Mr_Hollandの回答
この問題は、積分方程式を解くものです。 解法はいくつかありますが、最も簡単な第1種積分方程式の場合は、#1さんが言われるように、次の2点を行うことです。 1)積分区間を0にするようなxをとって、その値でのfやf’などの値を得る。 2)両辺をxで微分して、微分方程式に持ち込む。 なお、2)の微分は1回でうまくいかない場合は、2回、3回と得られた微分方程式が簡単になるまで行っていきます。 さて、この問題のケースですが、1)と2)で1回だけ微分すれば簡単な微分方程式が得られ、変数分離の方法で解くことができます。 1)積分区間を0にするようにx=0を方程式に代入する。 2f(0)=0 ∴f(0)=0 ・・・・(A) 2)両辺をxで微分する。 このとき、定積分の微分は、被積分関数の(x-t)f'(t)を(tを定数と見て)xについて微分します。 2f'(x)=[t=0→x]∫f'(t)dt+3 =f(x)-f(0)+3 ・・・・・定積分を実行 この式に式(A)のf(0)=0を代入すると、 2f'(x)=f(x)+3 ・・・・・・(B) 3)式(B)の微分方程式を変数分離で解きます。 y=f(x)、dy/dx=f'(x)であるから、式(B)を変形して、 2dy/dx=y+3 左辺にyとdyを、右辺にxとdxとを集めて変数分離形にすると、 dy/(y+3)=dx/2 この両辺を積分して、 log|y+3|=x/2+C、 C:積分定数 ⇔y+3=C'exp(x/2)、 C':積分定数 ∴y=C'exp(x/2)-3 ここで、式(A)のf(0)=0を入れると、 0=C'-3 ∴C'=3 これから、求める関数f(x)は次のようになることが分かります。 f(x)=3{exp(x/2)-1}
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お礼
こんなに丁寧にうって下さってありがとうございます!おかげで理解することができました!本当に助かりました