ブラウン運動

質問

ブラウン運動で分からないところがあります。
(1)s<t
E[　B(s)B(t)　]　=　E[　B(s)^2　]　+　E[　B(s) {　B(t)-B(s)　}　]　=　s　+　0　=　s

(2)s<t
E[　B(t)^2　|　F(s)　]　=　E[　{　B(s)　+ {　B(t)-B(s)　}　}^2　|　F(s)　]　=　E[　B(s)^2　+　2B(s)　{　B(t)-B(s)　}　+　{　B(t)-B(s)　}^2　|　F(s)　]　=　E[　B(s)^2　|　F(s)　]　+　2B(s)　E[　B(t)-B(s)　|　F(s)　]　+　E[　{　B(t)-B(s)　}^2　|　F(s)　]　=　B(s)^2　+　0　+　(t-s)

となります。ただ、自分が分からないところは、(1)では、E[　B(s)^2　]　=　sとなってますが、なぜ(2)では　E[　B(s)^2　|　F(s)　]　=　B(s)^2になるのかが分かりません。前者の考え方はわかりますが、後者のほうが納得できません。お分かりの方がいましたらご教授ください。

もう１つ、
T(a)　=　min{　t≧0　:　B(t)=a　}, T(a,N)　=　min{　t　:　B(t)∈／(a,N)　}のとき、どうしてT(a)≧T(a,N)になるのでしょうか？

回答No.1

adinat

E[　B(s)^2　]　=　s
はよいですね。ただの正規分布の分散を計算しただけです。もう少し直感に訴えた言い方をすると、何の情報も与えられていないときに、時刻sでブラウン運動がいる位置を二乗するとだいたいどの辺りにいるか？というわけです。
E[　B(s)^2　|　F(s)　]　=　B(s)^2
は時刻sまでブラウン運動がどう動いたかどうかを観察していいことにして（F(s)で条件付けるというのはそういう意味です）時刻sにブラウン運動がいる位置を二乗したらどこにいるか、ということです。自明ですね。数学的にはB(s)^2はフィルトレーションF(s)に関して可測だから、という一言で証明が終わります。条件付期待値について少し勉強されるべきと思います。

後半の質問は∈／(a,N)という記号の意味がわかりません。否定の意味だとすると、この集合はa≧0なら原点を含むのでT(a,N)=0になります。a<0でN>0だと少し考える必要がありますが、ブラウン運動がaにつくまでにかかる時間と、aかNのどちらかにつくまでにかかる時間のどちらが早いか、を考えれば明らかです。いずれにせよ、意味をよく考えてみたらすぐにわかると思います。

補足されてももう来ないと思いますので、あしからず。