ブラウン運動の定義と結合分布に関する質問
- 質問の内容は、ブラウン運動の定義と結合分布についてです。
- 質問者は、ブラウン運動の定義から導かれる性質について学んでいます。
- 特に、変数変換を用いた式の導出について疑問を持っています。
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ブラウン運動の定義と結合分布
http://www.math.u-ryukyu.ac.jp/~sugiura/2010/sde10.pdf に書かれていること(主に4page後半から5pageの頭)に関しての質問なんですが, 確率空間(Ω,Ｆ,P)上定義された(実数値)確率過程 B={B_t ; t≧0} がブラウン運動であることの定義から 定義(もしくは定義から導ける):「0=t_0<t_1<t_2<…<t_n に対し, {B_(t_i)-B_(t_(i-1))}_{1≦i≦n} は独立」なので A1,…An をボレル集合とすれば P( B_(t_1)-B_(t_0)∈A1,…,B_(t_n)-B(t_(n-1))∈An ) =P( B_(t_1)-B_(t_0)∈A1 )…( B_(t_n)-B(t_(n-1))∈An ) さらに「定義: 0≦s<t に対し, B_t-B_s は平均 0,分散 t-s のGauss分布に従う」 から P( B_(t_1)-B_(t_0)∈A1,…,B_(t_n)-B(t_(n-1))∈An ) =∫_A1…∫_An Πp(t_i-t_(i-1),x_i) dx_1…dx_n Πは i=1からnにわたる積 p(t,x)=1/√(2πt)*exp(-x^2/(2t)) を得る.ここから y_0=0, x_i=y_i-y_(i-1) (i=1,…,n) という変数変換によって P( B_(t_1)-B_(t_0)∈A1,…,B_(t_n)-B(t_(n-1))∈An ) =∫_{y_1∈A1}…∫_{y_n-y_(n-1)∈An} Πp(t_i-t_(i-1),y_i-y_(i-1)) dy_1…dy_n と書き換える. ここまでは理解できるのですが,ここからいきなり P( B_(t_1)∈A1,…,B_(t_n)∈An ) =∫_{y_1∈A1}…∫_{y_n∈An} Πp(t_i-t_(i-1),y_i-y_(i-1)) dy_1…dy_n が得られることがわかりません.どういう過程を経てこの式を得たのでしょうか? 教えてください.よろしくお願いします.
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密度で考えれば分かりやすいかも。次の [1] から [2] を導きたいのですね？ [1] 任意のボレル集合 A1, …, An に対し P( B_(t_1)-B_(t_0)∈A1,…,B_(t_n)-B(t_(n-1))∈An ) =∫_A1…∫_An Πp(t_i-t_(i-1),x_i) dx_1…dx_n [2] 任意のボレル集合 A1, …, An に対し P( B_(t_1)∈A1,…,B_(t_n)∈An ) =∫_{y_1∈A1}…∫_{y_n∈An} Πp(t_i-t_(i-1),y_i-y_(i-1)) dy_1…dy_n 次の通り。 （問題の言い換え） i = 0, …, n に対し、Y_i = B_(t_i) と置く。i = 1, …, n に対し、X_i = Y_i – Y_(i-1) 、 q_i(w) = p(t_i – t_(i-1), w)と置く（ w は実数）。 n 次元確率ベクトル X と Y を、 X = (X_1,…, X_n) 、 Y = (Y_1,…, Y_n) と置く。すると、 [1] は、次の [3] と同値であり、 [2] は、 [4] と同値である。 [3] X は、密度を持つ。それを f(x_1, …, x_n) とすると、 f(x_1, …, x_n) = Πq_i(x_i) [4] Y は、密度を持つ。それを g(y_1, …, y_n) とすると、 g(y_1, …, y_n) = Πq_i(y_i – y_(i-1)) （積分変数変換公式の適用） 一般に、 X を、密度 f(x) を持つ n 次元確率ベクトルとし、Φを、 R^n から R^n への連続的微分可能全単射とすると、 Y = Φ(X) は、次の g(y) を密度に持つ。 g(y) = |det(J)|f(Φ^(-1)(y)) ただし、 x = (x_1, …, x_n) 、 y = (y_1, …, y_n) とする。また、 J は、Φの関数行列（「ヤコビ行列」ともいう）で、 det(J) は、その行列式である。これは、普通の積分変数変換公式を確率ベクトルに適用しただけである。 （結論） 今回の場合、 J = 1 （添付図参照）、Φ^(-1)(y) = (y_1 – y_0, …, y_n – y_(n-1)) だから、 [3] から [4] が導かれる。
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