有界変動についての真偽判定問題で教えて下さい

質問

下記の問題を解いています。

[問] f:[a,b]→R (a,b∈R,a<b)とする時,次の真偽を判定せよ。

(1) fが増加ならばfは有限変動である。
(2) fが増加ならf(x)=∫[x..a]f'(y)dy.
(3) fが有界変動ならばfは2つの増加関数の差として表される。
(4) fが絶対連続ならばf(x)=∫[x..a]f'(y)dy.
(5) fが有界変動ならばfはa.e.で微分可能

有界変動の定義は
『f:[a,b]→R (但し,a,b∈R,a<b)とする。
V((s,t],f)は(s,t]⊂[a,b]でのfの変動
⇔
V((s,t],f)=sup{Σ[1≦k≦n]|f(s_k)-f(s_(k-1))|∈R∪{∞};n∈N}
(但し,s_0,s_1,…,s_nはs=s_0<s_1<…<s_n=tなる分割)
そして,特にV((s,t],f)<∞の時,fは(s,t]で有界変動という。
V((a,b],f)<∞の時,単にfは有界変動であるという』

絶対連続の定義は
『f:[a,b]→R (但し,a,b∈R,a<b)とする。fが[a,b]で絶対連続
⇔
0<∀ε∈R,0<∃δ∈R;
i≠jならばInt[a_i,b_i]∩Int[a_j,b_j]=φ(但し,Int[a_i,b_i]は[a_i,b_i]の内核を表す)でΣ(b_i-a_i)<δなる[a,b]の任意の部分区間の列{[a_i,b_i]} に対し Σ(f(b_i)-f(a_i))<ε』
です。

(1)については
fが閉区間で単調なのでfは有界。従って,fは有界変動

(2)についてはf(x)=∫[x..a]f'(y)dyとはdf(x)/dx=f'(x)を満たす関数という事なのでそのような関数としてf(x)=∫[x..a]f'(y)dy+1とかも採れる。よってf(x)=∫[x..a]f'(y)dyとは限らないので偽。

(3)についてはJordanの分解定理「f:[a,b]→Rが有界変動. ⇔ ∃f_1とf_2とは増加関数でf=f1-f2」
より真。

(4)についても(2)と同様でf(x)=∫[x..a]f'(y)dy+1とかも採れる(∵f(x)=∫[x..a]f'(y)dy+1はf(x)=∫[x..a]f'(y)dyを平行移動しただけなので絶対連続性は保たれる)。よって偽。

(5)については測度としてルベーグ測度λが仮定してあるんだと思います。
fとしてディレクレ関数
f(x)=1 (xが有理数の時),0 (xが無理数の時)
を考えるとλ([a,b]∩Q)=0,λ([a,b]∩(R＼Q))≠0ですがfは[a,b]の至る所で不連続なので[a,b]の至る所で微分不可能なので
勿論,a.e.(即ち[a,b]∩(R＼Q))ででも微分不可能。　よって偽。

と結論づいたのですが如何でしょうか?

回答No.1

nakaizu

(2)(4)の説明は意味不明。おそらくは見当外れの考え方をしている。
f(a)=0とかの条件がついていませんでしたか?
不定積分の積分定数が決定できないという趣旨の問題ではないと思います。
(5)あなたのディレクレ関数は有界変動ではありません。