1と0.9999・・・・・・は、数学的に同じなのですか？

質問

タイトルの通りなのですが・・・。
1と0.9999・・・・・・は、数学的に『同じ意味』なのでしょうか？。

回答No.6

kabaokaba

全く同じ意味です．
単なる表記の違い程度の意味しかありません．

1/3=0.3333333333.....

が表記の違いしかないのと同じです．
後ろに``.....''をつけて3が「どこまでも続く」ことを
表しているので，これは厳密に「=」です．
これの両辺を3倍するという質問者さんの考えや
厳密に考えるならNo.4さんのお話が完璧です

0.9999のように「どこかで止めた」ものは
当然 1 ではでありませんが，本質的なのは
0.999999.........のように「どこまでも9を続ける」ということです．
ちなみにこれを称して「無限に近いだけで異なる」という文脈が
ありますが，「無限に近い」というのは「同じ」ということです．

二つの数a，bが「無限に近い」というのは
二つの数の差a-bの絶対値が「無限に0に近い」ということです．
これは，どんなに小さい正の数 e に対しても
|a-b| < e
が成り立つという意味だととれます，
これは a=b と同値です．
証明は簡単．
a=b ならば |a-b|=0 <e がどんなe>0に対しても成立．
逆に
「どんなに小さい正の数 e に対しても
|a-b| < e
が成り立つ」と仮定します．
aとbが異なるのであれば，c=|a-b|は0より大きいです．
したがって，e= c/2 （cより小さければeは何でもいい）とおくと
|a-b| > e です
これは仮定に矛盾しています．よって a=b です．

どんなに小さな正の数 e にたいしても
1-0.999....... < e
となることの証明も簡単です．
正の数 e をとる．
eを小数で表記して，最初に0でない数が現われる桁をMとする
そこで，e'=1/(10^{M+1})とおく
e'<eなのは明らか．
1-0.999999999........ < 1-0.999999999 (M+1位で終わらせる)
です（0.999......の方が0.9999999(M+1位で終)より大きい数です）．
1-0.999999999 (M+1位で終わらせる) = e' であり
e'<eだから
1-0.99999999999999...... < e
eはどんなに小さい数でもいいので，証明終わり

お礼

回答いただき、ありがとうございました。

>>1/3=0.3333333333.....

>>が表記の違いしかないのと同じです．

表記の違いかぁ！、なるほど！。
ぜんぜんおもいつきませんでした・・・。
かなりイメージが涌いてきましたよ！。

いろいろな切り口から、証明できますね！。