二階非同次型線形微分方程式について

質問

(1+x^2)y"-2xy'+2y=(1-x^2)/xを解きたいのです。
解の一つとしてy=xlogxは与えられています。
ヒントとして未定係数法で解くと書かれてあったのですが、今一わからなかったので他の方法を使って途中まで解いてみました。ですが行き詰ったのでここで質問させていただきます。

以下自力での解法
y=cxと置き、cをxの関数とみなすと、
y'=c'x+c,y"=c"x+2c'
与式に代入して
(1+x^2)(c"x+2c')-2x(c'x+c)+2cx=(1-x^2)/x
x(1+x^2)c"+2c'=(1-x^2)/x
同次形について考える
c'=uと置く
x(1+x^2)u'+2u=0
-(1/u)u'=1/x(1+x^2)
両辺積分して
log|u|=-log|sinθ|+C1 (右辺はx=tanθとして積分しました)
u=C2/sinθ

ここまで出来たのですが、ここから先が分りません。そもそもθのままなのでxになおすとθ=tan-1x、u=C2/sin(tan-1x)となり、計算が行き詰ってしまいます。

助けてください。

回答No.2

endlessriver · ベストアンサー

すみません。誤りでした。
でも　x(1+x^2)u'+2u=0　も簡単に解けます。
du/u=-2/{x(1+x^2)}=2{x/(1+x^2)-1/x}dx
で左辺を積分すると
=log|1+x^2|-2log|x|+C=log{(1/x^2)+1}+C
となります。

回答No.1

endlessriver

(x+x^2)c"+2c'=(1-x^2)/x
のような気がします。

補足

(1+x^2)(c"x+2c')-2x(c'x+c)+2cx
=c"x+2c'+c"x^3+2c'x^2-2c'x^2-2cx+2cx
=c"x+2c'+c"x^3
=x(1+x^2)c"+2c'
となると思うのですが・・・

もし(x+x^2)c"+2c'=(1-x^2)/xであるならば
同次形を考えて
(x+x^2)c"+2c'=0
(x+x^2)c"=-2c'
(1/c')c"=-2/(x+x^2)
c'=uと置くと
-(1/u)u'=2/(x+x^2)
両辺積分して
-log|u|=∫2{1/x(1+x)}dx
-log|u|=2∫{(1/x)-1/(1+x)}dx
-log|u|=2{log|x|-log|1+x|}+C1
となり計算が楽になって助かるのですが。