同次形の微分方程式ついて（「解析学序説(上)」 ）

質問

よろしくお願いいたします。

【記号の説明】
定数 c については、c^(-λ) は「c のマイナスλ乗」を、
変数 x、y, u については
１ y^(n)などは y のn階微分を、
２ x^《n》はxのｎ乗を、
それぞれ、あらわします。

同書からの引用部分は『・・・』で示してあります。

「容易に階数降下のできる高階常微分方程式」という節の中に「同次形（の常微分方程式)」の項目があります。

『（λを定数として）、 x,y について同次形
(*) c^(-λ)F(cx,cy,y',c^(-1)y",...,c^(1-n)y^(n))= F(x,y,y',...,y^(n)) のときは、c=1/x とおけば、
(**） f(y/x,y',xy",...,x^《n-1》y^(n))=0
の形になる。そこで、ｙ=xu とおくと、y'=xu'+u, y"=xu"+2u',...,一般にライプニッツの公式で y^(k)=xu^(k)+ku^(k-1) で、ゆえに、x^《k-1》y^(k)=x^《k》u^(k)+kx^《k-1》u^(k-1)となり、ｘ についての同次形、すなわち(***)の場合（下記）に帰着された。』

x^《k-1》y^(k)=・・・までは分かるのですが、それから直ちにｘ についての同次形と結論できるのが、どうしても分かりません。(**)の左辺に、y, y', y", x^《k-1》y^(k), の右辺や、x=1/c を代入して、なんとか(***)が成立することを示そうとしたのですが、うまくいきませんでした。

なお、ｘ についての同次形というのは
（***）c^(-λ)F(cx,y,c^(-1)y',...,c^(-n)y^(n))= F(x,y,y',...,y^(n)) が成り立つことを言います。

どうぞよろしくお願いいたします。

回答No.1

kobold · ベストアンサー

具体的に考えて見ましょう
f(x,y,y')=xy'-y　はx,yについての同次形
y=xuとおくと、f=x(u+xu')-xu=x^2u'で、xについての同次形となります

これを一般化してみます
Fはx,yについての同次形とします
y=xuとおくと
F=F(x,xu,(xu)',...,(xu)^(n))
=F(x,xu,...,x^《k》u^(k)+kx^《k-1》u^(k-1),...)
=f(x,u,u',...,u^(n))
これをxとuについての式と見ます
するとfはxについての同次形です
c^(-λ)f(cx,u,c^(-1)u',...,c^(-n)u^(n))
= c^(-λ)F(cx,cxu,...,cxc^(-k)u^(k)+kc^(1-k)u^(k-1),...)
=c^(-λ)F(cx,cy,...,c^(1-n)y^(n))
=F(x,y,...,y^(n))
=f(x,u,...,u^(n))

上の文章を解読しましょう。加えた文章は[ ]で囲みます
c=1/xと[形式的に]おけば、
[微分方程式は](**)f(y/x,y',xy",...,x^《n-1》y^(n))=0の形になる。
[ここでf(y/x,y',xy",...,x^《n-1》y^(n))=F(x,y,y',...,y^(n))を満たしていることに注意。]
そこで、y=xuとおくと、
(省略)
x^《k-1》y^(k)=x^《k》u^(k)+kx^《k-1》u^(k-1)となり、
[xをcxで、yをyで、y^(k)をc^(-k)y^(k)で置き換えると、
(cx)^《k》c^(-k)u^(k)+k(cx)^《k-1》c^(-k)u^(k-1)
=x^《k-1》y^(k)=x^《k》u^(k)+kx^《k-1》u^(k-1)
より、式の値は変わらないので、左辺は]
xについての同次形、すなわち(***)の場合（下記）に帰着された。

補足

さっそくのご解答、たいへんありがとうございました。読み解きが遅れて失礼いたしました。

前半の「するとfはxについての同次形です」までは分かりました。

>これを一般化してみます
＝＝＝＝途中、引用を省略させていただきます＝＝＝＝
>F=F(x,xu,(xu)',...,(xu)^(n))
>=F(x,xu,...,x^《k》u^(k)+kx^《k-1》u^(k-1),...)

↑のx^《k》u^(k)+kx^《k-1》u^(k-1)は、xu^(k)+ku^(k-1) ではないでしょうか。それ以外では理解することができました。

ただ、後半が良く理解できませんでした。すみませんが、次のことを教えてくださるとありがたいです。

「xをcxで、yをyで、y^(k)をc^(-k)y^(k)で置き換える」 というのは

f(y/x,y',xy",...,x^《n-1》y^(n)) に対してでしょうか、それとも、
F(x,y,y',...,y^(n))
に対してでしょうか？ちょっとまだわかっていないようですみません。

よろしくお願いいたします。

回答No.2

kobold

No.1です
＞↑のx^《k》u^(k)+kx^《k-1》u^(k-1)は、xu^(k)+ku^(k-1) ではないでしょうか。
ごめんなさい、はい、そうです。間違えました

＞「xをcxで、yをyで、y^(k)をc^(-k)y^(k)で置き換える」
直接的には
x^《k-1》y^(k)=x^《k》u^(k)+kx^《k-1》u^(k-1)
に関してです
f(y/x,y',xy",...,x^《n-1》y^(n))
をx,uの式と見ると、xの同次形になることが示せます
というのは、各項を見ると、置き換えても式の値が変わらないからです

補足

ご回答、ありがとうございました。

>直接的には
x^《k-1》y^(k)=x^《k》u^(k)+kx^《k-1》u^(k-1)
に関してです

そうでした。私の目線があっちこっちうろうろしていました。ポイントはこの式ですね。

>f(y/x,y',xy",...,x^《n-1》y^(n))
をx,uの式と見ると、xの同次形になることが示せます
というのは、各項を見ると、置き換えても式の値が変わらないからです

koboldさんのアドバイスを元に、こんな風に式を書いてみました。

「f(y/x,y',xy",...,x^《n-1》y^(n))
をx,uの式と見」て、それをｇとおくと、
g(x,u,u',u",...)=f(u,xu'+u,x(xu"+2u'),...,x^《k-1》(xu^(k)+ku^(k-1)),...)
=f(u,xu'+u,x^2u"+2xu',...,x^《k》u^(k)+kx^《k-1》u^(k-1)),...)

ここでｘ→cx, u→u, u'→c^(-1)u',...,u^(k)→c^(-k)u^(k),...)と置き換えると、

g(cx,u,c^(-1)u',c^(-2)u",...,c^(-k)u^(k),...)
=f(u,cxc^(-1)u'+u,(cx)^2c^(-2)u"+2(cx)c^(-1)u',(cx)^《k》c^(-k)u^(k)+k(cx)^《k-1》c^(-(k-1))u^(k-1),...)
=f(u,xu'+u,x^2u"+2xu',...,x^《k》u^(k)+kx^《k-1》u^(k-1),...)
=g(x,u,u',u",...)

よってｇはxについて同次形。（c^(-λ)のλ=0と考えられる）

式で表すと意外に長くなってしまいましたが、本質はkoboldさんの言われた、「各項を見ると、置き換えても式の値が変わらない」ということです。

上を振り返って、^と（ ）のためにかなり見かけが複雑になってしまい、u"/c^2 などと書けばいくらかもっとすっきりしたのになあと反省したしだいです。

たいへんどうもありがとうございました。

なお、同次形の微分方程式をこのように取り扱っている入門書が少ないのが不思議で、いろいろ調べてみましたが、冒頭の本を入れて２種類で、たいていは触れていないか、y=exp(z),x=exp(t), などとおけという指示があるだけでした。

しかし、長くなりますのでまたトピックを改めて投稿したいと思っております。

重ねてどうもありがとうございました。