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微分積分(同次形)について

以下の問題の考え方、過程を教えてください。 1.微分方程式 xy y' + X^2 + y^2 - xy = 0 は同次形か? 2.微分方程式 x^2 y'=y^2 + x^2 y は同次形か? 1.2ともy'=の式に直して式変形しましたが 1は1-(x/y)-(y/x) 2は(y/x)^2 + y となりましたがどちらもy' = f(y/x)の形になりません。

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1の微分方程式 xy y' + x^2 + y^2 -xy = 0 は, y' + 1/(y/x) + y/x -1 = 0 と変形できますから,y'=f(y/x) の形なので,同次形です. 2の微分方程式 x^2 y'=y^2 + x^2 y は同次形ではありません. この微分方程式を変形すると, y'-y=(y^2)/(x^2) となります.これは,ベルヌーイ(Bernoulli)型の常微分方程式と言います. y'-y=(y^2)/(x^2) に対して,z=1/y とおくと, z に関する1階線形常微分方程式となり,求積法で解くことが出来ます.

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  • 回答No.1
  • alice_44
  • ベストアンサー率44% (2109/4758)

y’= 1 - (x/y) - (y/x) は、y’= f(y/x), f(u) = 1 - (1/u) - u ですよ。 y’= (y/x)^2 + y は、同次形ではありません。 y/x = u で変数変換して、変数分離形になるかどうかで判定するのも一手です。

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