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外積が右ねじの向きであることの証明
noocyteの回答
- noocyte
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ひょっとしたらポイントを外しているかもしれませんが… 「右／左」の概念は，外積の定義式の中に含まれているわけではありません． 座標系 (座標軸) の取り方によって決まります． 「外積は右ねじ方向」というのは，座標系が右手系だからそうなります． 座標系を左手系にすれば，外積の計算式 (座標成分の値) はそのままで， 「外積は左ねじ方向」を向きます． (このように，座標系の向きに応じてそれが表す向きが反転するベクトルを 「擬ベクトル」または「軸性ベクトル」といいます．) 擬ベクトル (Wikipedia) http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%93%AC%E3%83%99%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AB ｉ番目の座標軸方向の単位ベクトルを ｅi (i＝x，y，z) とすると， ａ＝Σ(ａi * ｅi)，ｂ＝Σ(ｂi * ｅi) です． ａ×ｂがａ，ｂ双方について線形ということを納得しているのなら， ａ×ｂ ＝ Σ(i)Σ(j) (ａi * ｂj) (ｅi×ｅj) ｅi×ｅj＝－ｅj×ｅi (したがって ｅi×ｅi＝０) なので， ａ×ｂ ＝ ΣΣ(i＜j) (ａi * ｂj － ａj * ｂi) (ｅi×ｅj) ここまでは「右／左」の概念は入っていないことに注意してください． 一応３次元として計算していますが，実はここまでは３次元でなくてもかまいません． 上の最後の式を３次元の場合について書き下すと次のようになります． ａ×ｂ ＝ (ａy * ｂz － ａz * ｂy) (ｅy×ｅz) ＋ (ａz * ｂx － ａx * ｂz) (ｅz×ｅx) ＋ (ａx * ｂy － ａy * ｂx) (ｅx×ｅy) さて，ここで外積に「右ねじの向き」を入れます． 座標系が右手系であれば，ｅy×ｅz に対する右ねじの向きはｅxです． あとの２つについても同様なので， ｅy×ｅz＝ｅx， ｅz×ｅx＝ｅy， ｅx×ｅy＝ｅz． ∴ａ×ｂ ＝ (ａy * ｂz － ａz * ｂy) ｅx ＋ (ａz * ｂx － ａx * ｂz) ｅy ＋ (ａx * ｂy － ａy * ｂx) ｅz これを成分で書くと， ａ×ｂ ＝ (ａy * ｂz － ａz * ｂy, ａz * ｂx － ａx * ｂz, ａx * ｂy － ａy * ｂx)． もし座標系が左手系であれば，ｅy×ｅz に対するｅxは左ねじの向きになりますが， 座標成分は同じです． … という説明でどうでしょうか？ 外積について (高校生のための微分幾何) http://members.jcom.home.ne.jp/1228180001/whats%20tensor2.htm ２次元ベクトルの外積の効用 (線形代数学の教科内容の改善に向けて) http://www.dt.takuma-ct.ac.jp/~sawada/math/danwa5html/node14.html ３点の座標から簡単に回転方向を判別する．(２次元，外積を用いる方法) ・Ｎ次元の外積，擬ベクトル http://www5d.biglobe.ne.jp/~noocyte/Programming/Geometry/RotationDirection.html#Digression
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