外積が右ねじの向きであることの証明

質問

外積（a×ｂ）が右ねじを回す方向というのはどうやって示すのでしょうか？

http://oshiete1.goo.ne.jp/qa482563.html

のNo7さんが少しそのことに触れているのですが、よく分かりませんでした。
一般的に示せる方はいらっしゃいますか？

よろしくお願いします。

回答No.4

kabaokaba

No.2です

「向き」ということをどのように定義するかが重要なのです．
定義なしに数学で証明することはできません．
「向き」の定義を一般的に行うのは厄介です
そもそも向きが決められないケース（メビウスの帯など）も
あります．

実三次元の場合，同一平面上にない三つのベクトルa，b，cの
向きが「右ねじ」であることをどう定義するかですが
これは(a b c) （a，b，cの各ベクトルの成分からなる行列）の
行列式が正になるというのが一番シンプルな定義だと思われます．
実はこれはn次元でも同じです
しかし，これがなぜ「向き」を定めるのかというのが
直観では分かりにくいのです．

・向きは二種類しかない
・軸の順番を一個変えると逆向きになる
・向きが変わると（符号付の）面積・体積の符号が変わる

などということと，1，2次元の場合からの類推で
行列式でこのように向きを決めることの
妥当性がみえてきます．

1次元のとき：
原点から1に向かう方を「正」としましょう（いわゆる「右向き」）．
そして線分の（符号付）長さを考えます．
例えば，0から10に向かう向きは「正」です．
またこのとき，0から10への長さは「向き」を考慮して「10」です．
つぎに，10から0へ向かう向きを考えます．
これは0から-10へ向かうのと同じです．
0から10への向きから0から-10へと向かう向きへの変換は
-1を掛け算することです．
これの「行列式」は -1 で負．
これは向きを変えることを表すとみなせます．
またこの逆向きを基準にすれば，0から10への長さは「-10」です．

二次元の場合：
(1,0)(0,1)による向きがいわゆる「正」の向きです．
例えば，(-1,0)(0,-1)は「正の向き」でしょうか？
図を描けば分かりますが，これは「正」です
このとき，変換行列
-1 0
0 -1
の行列式を考えてください．
(0.1)(1,0)は「正の向き」でしょうか？
今度は「負」です．これも行列式
0 1
1 0
を考えてください．
いろいろなケースで図を描きながら
正の向きか負の向きかと行列式の正負を
比べれば理解できると思います．

同様に三次元でも計算すれば同じ状況なのが見えてきます．

お礼

再度回答どうもありがとうございます。
私が当初思っていたより難しく、またたくさんの回答が寄せられて理解するのに少し時間が掛かりそうです。今日、明日とじっくり考えてからまたコメントを掲載します。
さしあたり回答のお礼のみを申し上げます。

どうもありがとうございました。