きれいな形の多変数の積分計算。対称的な形のため、簡略化できそう？

質問

ご覧いただきありがとうございます。もう数日間、この積分計算で行き詰まっており、解答へのヒントを見つけられずに困っております。まずは式を示し、その後に背景を説明します。

いま与えられている被積分関数は以下の形をとっています。

{cos(x)cos(y)cos(a)cos(b)}^2
_________________________________
{(x-y)^2 + (a-b)^2}^(1/2)

この関数をx,y,a,bでの4重積分を行いたいのです。積分範囲は全て-Pi/2 から+Pi/2です。結果はコンピュータ上で計算するため、解析的に解けなくてもいいです。
単純にこれをMapleなどの解析ソフトに入力すると、分母が0になる特異点が存在するため発散との結果を出してしまいます。しかし式変形するとわかるように、この積分は発散しません。
※a=b、y=0とするとxのみの関数になりますがこれは奇関数の形をとるため積分結果はゼロになります。

こんなきれいな形をしているのに、一筋縄じゃいかないところが悩ましいです。

さて、この問題の背景ですが、２次元の有限空間に閉じ込められた電子とホール間のクーロンポテンシャルを計算するところからやってきています。いま、２つの粒子は定常状態を取っていると仮定しています。

どうか、指針などで結構なので何か思いついた方、よろしくお願いします。

回答No.5

atomicmolecule

私の意図がうまく伝わってないようなので再度かきます。

先ず積分が発散しているんならどうしようもありませんが、そこをちゃんと確認してください。この積分は定義されているかどうか、それを調べてください。その際に

（１）被積分関数が発散する場所を先ずしっかりとおさえる。

（２）被積分関数が発散しているところで、積分の測度がゼロになるかもしれないので、そこをちゃんと注意して積分が定義されているかどうか調べること。
（例：∫_{0, 1}log(x)dx はlog(0)=∞　ですが積分はちゃんと定義されています。）

ベクトルを使ったのは本質ではありません。

積分が定義されているんなら、変数変換をして積分しやすい形にしてください。その際に領域をいくつかに分けておく方が便利でしょう。
（例えば-π/2<x<0 , 0<x<Pi/2　のような二つの領域)

問題が難しすぎると思う場合には簡単な例をつくって疑問点を解消してから取り組んだ方がよいとおもいます。その意味で前回の例をつくりました。
頑張ってください。良いお年を

補足

あけましておめでとうございます。

前の記事にすでに補足を書いてしまい、補足を記入できなかったためこちらにレスします。前の積分計算で疑問点がいくつかありました。

ひとまず、僕が疑問を持った箇所を飛ばして、最後まで式を追わせていただきます。

f = ∫dx dy da db 1/{(x-y)^2 + (a-b)^2}^(1/2)

***次の式変形にどうしても行き着けないので、いくつか質問をさせていただきたいです。
まず前の式ではfの次元は、xyabが全て長さLの次元を持っていることを踏まえるとL^3ですよね。
しかし、次の式ではL^1となってしまいますが、これはいいのでしょうか。
dr1=(dx, da)ですよね。そうすると、dr1・dr2=dxdy+dadbになると思います。

f= ∫dr1 dr2 1/|r1-r2|

r1=(x,a)
r2=(y,b)

f=∫dr dr2 1/|r|

r1-r2=r , dr=dθ d|r|*|r|

***この上の変数変換にも疑問を覚えます。最初あったベクトル変数r, r2（変数要素4つ)が、次の式ではスカラー変数θと|r|の2つのみになっていますが、どうして成り立つのかがわかりません・・・。

f=∫dθ d|r| |r| * 1/|r| = ∫dθ ∫d|r|

何か僕の知らない積分計算などが含まれていたようなら、キーワードだけでも書いていただければ助かります。