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きれいな形の多変数の積分計算。対称的な形のため、簡略化できそう？
atomicmoleculeの回答
- atomicmolecule
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問題の本質はx=y, a=bの時の発散ですよね。問題を簡単化して次のような問題を先ず考えてみたらどうでしょうか？ f = ∫dx dy da db 1/{(x-y)^2 + (a-b)^2}^(1/2) 積分領域はx=y, a=bを含むところだけが本質でしょうから全て0～１に制限しておきます。 ところでこの積分ベクトル記号を使ってて書くと f= ∫dr1 dr2 1/|r1-r2| r1=(x,a) r2=(y,b) となる２次元ベクトル。 この式更にベクトルの変数変換をすると f=∫dr dr2 1/|r| r1-r2=r , dr=dθ d|r|*|r| と極座標でかくと f=∫dθ d|r| |r| * 1/|r| = ∫dθ ∫d|r| となって積分できそうですね。 まとめるとx=y , a=b となる点からの寄与は積分測度がゼロになるために発散がおさえられるのではないかということですが。積分が測度によって巧く定義されているなら変数変換をして測度を取り出してやると数値計算もできるはずです。がんばってください。 f=0.7433
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補足
年の瀬にありがとうございます。 ベクトルを使うと簡単になるんですねぇ。この方法で少し試させていただきます。2-3日のうちに再びレスできると思います。 しかし不安なのは元の式中のcos内の値をベクトルにした後でどうするか、という問題です。