微分方程式の級数解 a[0] * x^n
微分方程式
(d^2 y)/(dx^2) + (1/x) (dy/dx) - (n^2/x^2) y = 0 (x>0)
の級数解を、次の問いに従って求めよ。
ただし、n>0とする。
(1) 級数解を
y(x) = x^c * Σ[i=0,∞] a[i] * x^i
とおいたとき、指数cはどのように求まるか。ただし、a[0] ≠ 0であるとする。
解答
級数解を
y(x) = x^c * Σ[i=0,∞] a[i] * x^i
とおいて、項別に微分すると
dy/dx = x^c * Σ[i=0,∞] (c+i)a[i] * x^(i-1)
(d^2 y)/(dx^2) = x^c * Σ[i=0,∞] (c+i)(c+i-1)a[i] * x^(i-2)
これを微分方程式に代入して
x^c * Σ[i=0,∞] (c+i)(c+i-1)a[i] * x^(i-2)
+ (1/x) * x^c * Σ[i=0,∞] (c+i)a[i] * x^(i-1)
+ (n^2/x^2) * x^c * Σ[i=0,∞] a[i] * x^i = 0
x^c * Σ[i=0,∞] (c+i)(c+i-1)a[i] * x^(i-2)
+ x^c * Σ[i=0,∞] (c+i)a[i] * x^(i-2)
+ n^2 * x^c * Σ[i=0,∞] a[i] * x^(i-2) = 0
x^c * Σ[i=0,∞] { (c+i)(c+i-1) + (c+i) - n^2 } a[i] * x^(i-2) = 0
x^c * Σ[i=0,∞] [ (c+i) { (c+i-1) + 1} - n^2 ] a[i] * x^(i-2) = 0
x^c * Σ[i=0,∞] { (c+i)(c+i-1+1) - n^2 } a[i] * x^(i-2) = 0
x^c * Σ[i=0,∞] { (c+i)(c+i) - n^2 } a[i] * x^(i-2) = 0
x^c * Σ[i=0,∞] { (c+i)^2 - n^2 } a[i] * x^(i-2) = 0
x^(c-2)の係数について
(c^2 - n^2)a[0] = 0
でなければならない。
したがって、a[0] ≠ 0の条件から
c^2 = n^2
c = ±n
と定まる。
(2) 一般解を級数解で求めよ。
解答
x^(i+c-2) (i=1,2,3,...)の係数について
{ (c+i)^2 - n^2 } = 0
でなければならない。
c=nのとき、
{ (c+i)^2 - n^2 } = (n+i)^2 - n^2
= 2ni + i^2 ≠ 0
であるから、a[i] = 0 (i=1,2,3,...)となる。
すなわち、これに対応する解は
a[0] * x^n ←これが分かりません
・・・とまだまだ続くのですが、a[0] * x^nになる理由が分かりません。
自分で考えてみますと、
Σ[i=0,∞] { (c+i)^2 - n^2 } a[i] * x^(i+c-2) = 0
で、(i=1,2,3,...)はすべてa[i] = 0になると言ってるのだから、残るはi=0のみ。
i=0:
{ (c+0)^2 - n^2 } a[0] * x^(0+c-2) = 0
{ c^2 - n^2 } a[0] * x^(c-2) = 0
しかも、c=nなので
{ n^2 - n^2 } a[0] * x^(n-2) = 0
{ 0 } a[0] * x^(n-2) = 0
・・・x^(n-2)の係数について係数は0という結果になりました。これでいいんですか？？？
たとえ、{ (c+i)^2 - n^2 } = 2ni + i^2としても、i=0なので0ですよね？
このa[0] * x^nはどうやって導いたのでしょうか？
教えてください。お願いします。
お礼
なるほど、すごく理解できました！ ｘの指数がｎを含んだ整数ならベキ級数と呼べるんですね、 ∞ Σ (-1)^n * (x)^2n n = 0 をTLK_RBBSHさんのおっしゃったように、 ｃの部分を別の言い方で考えたところ、 ∞ Σ {(-1)^(n/2)}*[{1+(-1)^n}/2] * (x)^n n = 0 となり、ｘの指数をｎのみで表すことができました！ すばやい解答本当にありがとうございます。