無限級数の積

質問

∞　　　　∞
無限級数Σａ[ｎ]，Σｂ[ｎ]において
∞　　　∞　　　　　　∞　 ｎ
Σａ[ｎ]Σｂ[ｎ]　＝　Σ Σａ[ｋ]ｂ[ｎ－ｋ]
　　　　　　　　　　　　ｎ　　ｋ
が成り立つことをどのように示せばいいのでしょうか？
変形だけで導けますか？

回答No.3

yaksa · ベストアンサー

あらら、消されてしまったんですか。
ここってひどいですよね。回答も含めて突然削除ですからね。
外部リンクが駄目なら少なくとも数学カテだけでも、mimeTexくらいは使えるようにしてくれ、なんて思いますが＞見てるかもしれない管理者の方。
「ご自分の判断や不明点の説明もなく回答のみを求める質問はマナー違反でありウンヌン」
本音としては、誰に対するマナー違反になるのか私には理解不能です。不快な人は答えなければいいだけ。回答なんて基本的に暇人が暇つぶしor現実逃避してるだけですし（私を含め）、なんて思ったりしますが。。

a[n]、b[n]が絶対収束するなら、以前のでＯＫですよ。
ただ一応、１行目の左辺＝右辺はもう少し説明したほうがベターかもしれません。といっても、絶対収束するんなら項の入れ替えとか部分収束とか適当に考えずにやってもほぼＯＫなんで、深く考える必要はないんですが。一応。

とりあえず、m>=nの場合です。m<nの場合についても考えてみてください。
Σａ[ｎ]Σｂ[ｎ]
= lim_{n→∞, m→∞} { a[0]Σｂ + ａ[1]Σ + … + a[n]Σｂ + a[n+1]Σｂ + … + a[m]Σｂ}
（ただし、m>n、Σｂは、Σ_{n=0～ｎ}b[k] を表す）
= lim｛ａ[0]Σｂ[ｋ]＋ａ[1]Σｂ[ｋ]＋・・・＋ａ[1]Σｂ[ｋ]｝[ｋ＝０～ｎ]

∵ a[n+1]Σｂ + … + a[m]Σｂ
　= Σｂ*(a[n+1] … + a[m])
　= 0 （コーシー列の性質）

回答No.2

kony0

この問題は各格子点(i,j)（領域はi≧0, j≧0で、i,j はともに整数）に対するa[i]*b[j]の和を考える問題ですが、その和の取り方において、
○「iを固定しておいて、jを0から順に足していく」というのを各iに対して行う
○「i+j=nなる「直線」を考え、この直線上でiを0～nまで足していく」というのを各nに対して行う
の２パターンを考えただけです。
ここで私の力が及ばず、無限級数の収束性の問題は「無視」してます。（汗）

ということで、まっとうな考えなのか否かは、正直あまり自信がないところです。

補足

今日、図書館で級数を調べてみたところ絶対収束するａ[ｎ]ｂ[ｎ]において成り立つということらしいです。
証明が見つかりません。

回答No.1

kony0

Σ(i=0～∞)Σ(j=0～∞)a[i]b[j]
において、n=i+j, k=i
と置き換えただけで、
Σ(n=0～∞)Σ(k=0～n)a[k]b[n-k]
と変形できると思います。
（積分の変数変換と同じ要領）

お礼

他のページで説明しちゃいけないと管理者からの報告で消されてしまいましたので、ここで説明します。

Σａ[ｎ]Σｂ[ｎ]
＝ｌｉｍ｛ａ[0]Σｂ[ｋ]＋ａ[1]Σｂ[ｋ]＋・・・＋ａ[1]Σｂ[ｋ]｝[ｋ＝０～ｎ]
＝ｌｉｍ｛ａ[0]Σｂ[n－k]＋ａ[1]Σｂ[n－k]＋・・・＋ａ[ｎ]Σｂ[n－k]｝[ｋ＝０～ｎ]
＝ｌｉｍ｛Σ(ａ[0]ｂ[n－k])＋Σ(ａ[1]ｂ[n－k])＋・・・＋Σ(ａ[ｎ]ｂ[n－k])｝[ｋ＝０～ｎ]
＝ｌｉｍ｛Σ[N＝０～ｎ]Σ[ｋ＝０～ｎ](ａ[Ｎ]ｂ[Ｎ－k])｝
＝Σ[ｎ＝０～∞]Σ[ｋ＝０～ｎ](ａ[ｎ]ｂ[ｎ－k])｝

としたのですがいかがですか？

補足

Σ(ｉ＝0～∞)Σ(j＝0～∞)ａ[ｉ]ｂ[ｊ]
で
ｉ＝ｋ，ｊ＝ｎ－ｋ
っということですが、
そのまま代入するとΣ(ｊ＝0～∞)はΣ(ｎ－ｋ＝0～∞)となってよくわかりません。

＞積分の変数変換
いわゆる、置換積分ですね？