数列 無限級数

質問

a_1＝15、a_n+1＝２a_n＋4^(n+1)－１
(1)a_nをｎで表せ
(2)無限級数Σ(n=1～∞)　2^n/a_n　の値を求めよ

この問題なのですが、
(1)はa_n＝６・2^(n-1)＋１＋２・4^nとなりました。
（あっているか不安です・・・）
そこで(2)なのですが、
2^n/a_n＝１/（３＋1/2^n＋2^(n+1)）としたあと、
2^(n+1)→∞となって求める値は０なのでしょうか？
なんとなく違うような気がするのですが・・・
回答いただければありがたいです。よろしくお願いします

回答No.2

debut · ベストアンサー

(1)はその通りです。
　　まあ、もうちょい変形すれば、2・4^(n)+3・2^(n)+1ですか。
(2)
2^n/a_n=1/(3+1/2^n+2^(n+1))というのは一般項だから、和を求めないと
いけないですよね。

a_n=6・2^(n-1)+1+2・4^n=2・(2^n)^2+3・2^(n)+1={2・2^(n)+1}{2^(n)+1}
と因数分解できます。すると、
2^n/a_n=2^n/{2・2^(n)+1}{2^(n)+1}から部分分数に分解できそうです。

回答No.1

eatern27

>2^(n+1)→∞となって求める値は０なのでしょうか？
正の数を無限個足したら、そのうち０になりますかね？

2^n/a_n ＝ b_(n+1) - b_nとなるようなb_nが見つかれば計算できますよね。
x=2^nとでもおいて、2^n/a_nを変形してみた方が見通しがいいかも。